重心細分

単体的複体を細分する方法として, 最も一般的なのが重心細分 (barycentric subdivision) である。 Euclid 単体的複体の場合は, 各単体の重心を取り, それらを結んでできる分割なので, 重心細分という名前に納得できる。

抽象単体的複体については, 重心という概念が無いので, 別の方法で定義する必要がある。単体 \(\sigma \) の重心を \(\sigma \) 自身で表して, それらを結ぶということを順に「大きくなる」単体の列 \[ \sigma _{0} \le \sigma _{1} \le \cdots \le \sigma _{n} \] で表す。ただし順序関係は包含で定義されるものである。 つまり, 単体的複体 \(K\) の face poset \(F(K)\) での chain を単体とする (順序付き) 抽象単体的複体を \(K\) の重心細分として定義する。

• 抽象単体的複体 \(K\) の重心細分 \(\mathrm {Sd}(K)\)

ここで, poset \(P\) の chain 全体の成す順序付き単体的複体は, \(P\) の order complex と呼ばれる。 よく \(\Delta (P)\) と書かれるが, \(P\) を small category とみなしたときは, nondegenerate nerve \(\overline {N}(P)\) のことである。よって, 重心細分は \[ \mathrm {Sd}(K) = \overline {N}(F(K)) \] と定義することができる。

一方, 重心細分が同型ならば元の単体的複体が同型であるという事実は, Finney により [Fin65] で証明されている, ということをこの MathOverflow の議論で知った。

CW複体 \(X\) のときは, 各\(n\)胞体 \(e\) には, 特性写像 \[ \varphi : D^{n} \rarrow {} \overline {e} \] が付随するので, \(D^{n}\) の原点を \(\varphi \) で写した点を \(e\) の重心と定義することができる。ただ, それらの重心を結ぶためには, 当然であるが, 特性写像の間の関係が必要になる。

最も簡単なのは, 特性写像が全て同相写像である場合, つまり regular な場合である。 この場合 face poset \(F(X)\) が定義されるので, 順序付き単体的複体 \(\overline {N}(F(X))\) が定義される。 その幾何学的実現は, canonical な regular cell complex の構造を持つので, それを \(X\) の重心細分と呼ぶべきだろう。 つまり \[ \mathrm {Sd}(X) = \|\overline {N}(F(X))\| \] である。これが, 元の \(X\) と同相であることの証明は, 例えば, [Bjö+99] の §4.7 にある。

右辺は, \(F(X)\) を small category とみなしたときの分類空間 \(BF(X)\) であり, より一般には, cell の集合を対象とする small category を定義し, それに対し \(X\cong BF(X)\) を証明するべきである。 と考えて書いたのが, [Tam18] であり, そこでは cylindrically normal という regular を一般化した構造を持つ場合が証明してある。

• cylindrically normal cell complex
• cellular stratified space

また, poset \(P\) に対し, \(\overline {N}(P)\) は chain の包含により poset になるので, これを \(P\) の重心細分と呼んでもよいだろう。 実際, これを一般化して, small category の重心細分が定義される。

• small category の細分

References

[Bjö+99]

Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White, and Günter M. Ziegler. Oriented matroids. Second. Vol. 46. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+548. isbn: 0-521-77750-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511586507.

[Fin65]

Ross L. Finney. “The insufficiency of barycentric subdivision”. In: Michigan Math. J. 12 (1965), pp. 263–272.

[Tam18]

Dai Tamaki. “Cellular stratified spaces”. In: Combinatorial and toric homotopy. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 305–435. arXiv: 1609.04500.