Concrete Categories

位相空間や 群のように, 集合に何か構造を付加したものは数学でよく使われる。 圏論的には, 集合の圏への “forgetful functor” を持つ圏の対象となっているもの, と定義できる。 正確には, 集合の圏への faithful functor を持つものと定義する。

そのような圏を concrete category と呼ぶ。

Adámek と Herrlich と Strecker の本 [AHS06] があるが, そこでは, 集合の category とは限らない, 一般の category への faithful functor を持つものとして定義されている。

よく目にする category は大抵 concrete であるが, Freyd [Fre73] によると最初に concrete ではない category を発見したのは Isbell [Isb63] らしい。

Freyd 自身 [Fre70; Fre04] 位相空間の homotopy category が concrete ではないことを示している。 それを model category に一般化したものとして, Di Liberti と Loregian の [DL18] がある。

Concrete category で “forgetful functor” が algebraic functor であるものは algebraic category と呼ばれる。 Lawvere [Law65] により導入された概念のようである。

• algebraic category

Adámek らの本 [AHS06] に algebraic functor の定義も含めて書かれているが, この本は, あまり読み易くない。 定義の中で使われている定義がどこに書かれているかが分かりづらい。

Algebraic category の例としては, compact Hausdorff category の category がある。この事実は, Johnston の本 [Joh82] では Manes の定理 [Man69] と 呼ばれている。

References

[AHS06]

Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker. “Abstract and concrete categories: the joy of cats”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 17 (2006). Reprint of the 1990 original [Wiley, New York; MR1051419], pp. 1–507. url: http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17.pdf.

[DL18]

Ivan Di Liberti and Fosco Loregian. “Homotopical algebra is not concrete”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.3 (2018), pp. 673–687. arXiv: 1704.00303. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0197-3.

[Fre04]

Peter Freyd. “Homotopy is not concrete”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 6 (2004). Reprinted from ıt The Steenrod Algebra and its Applications, 25–34, Lecture Notes in Math., 168, Springer, Berlin, 1970 [MR0276961], pp. 1–10. url: http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/6/tr6abs.html.

[Fre70]

Peter Freyd. “Homotopy is not concrete”. In: The Steenrod Algebra and its Applications (Proc. Conf. to Celebrate N. E. Steenrod’s Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 168. Springer, Berlin, 1970, pp. 25–34.

[Fre73]

Peter J. Freyd. “Concreteness”. In: J. Pure Appl. Algebra 3 (1973), pp. 171–191. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(73)90031-5.

[Isb63]

J. R. Isbell. “Two set-theoretical theorems in categories”. In: Fund. Math. 53 (1963), pp. 43–49.

[Joh82]

Peter T. Johnstone. Stone spaces. Vol. 3. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1982, pp. xxi+370. isbn: 0-521-23893-5.

[Law65]

F. William Lawvere. “Algebraic theories, algebraic categories, and algebraic functors”. In: Theory of Models (Proc. 1963 Internat. Sympos. Berkeley). North-Holland, Amsterdam, 1965, pp. 413–418.

[Man69]

Ernest Manes. “A triple theoretic construction of compact algebras”. In: Sem. on Triples and Categorical Homology Theory (ETH, Zürich, 1966/67). Lecture Notes in Math., No. 80. Springer, Berlin-New York, 1969, pp. 91–118.