Traces on Monoidal Categories

Ponto と Shulman の解説 [PS14] によると, 正方行列の trace の拡張として symmetric monoidal category での dualizable object の endomorphism に対して trace が考えられることは, 70年代の終り頃には知られていた [DP80; KL80] ようである。以来, 様々な方向に一般化が考えられている。

Symmetric monoidal category を braided monoidal category に一般化し, その かわりに twist という構造を考えたのが Joyal と Street [JS93] の balanced monoidal category という構造であるが, そこでの trace を Joyal と Street と Verity [JSV96] が考えている。

• balanced monoidal category
• traced monoidal category

Traced monoidal category は, 計算機科学でも登場する。 Hasegawa らの [Has04; HHP08] など。

Stolz とTeichner [ST12] は, balanced monoidal category での trace と topological vector space 上の nuclear operator の trace の共通の一般化を考えている。

Monoidal category の一般化 (many-objectification) として, bicategory は重要であり, trace の (ある条件をみたす) bicategory への一般化も考えられている。 Ponto らの [Pon10; PS13] である。

References

[DP80]

Albrecht Dold and Dieter Puppe. “Duality, trace, and transfer”. In: Proceedings of the International Conference on Geometric Topology (Warsaw, 1978). PWN, Warsaw, 1980, pp. 81–102.

[Has04]

Masahito Hasegawa. “The uniformity principle on traced monoidal categories”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 40.3 (2004), pp. 991–1014. url: http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.prims/1145475500.

[HHP08]

Masahito Hasegawa, Martin Hofmann, and Gordon Plotkin. “Finite dimensional vector spaces are complete for traced symmetric monoidal categories”. In: Pillars of computer science. Vol. 4800. Lecture Notes in Comput. Sci. Berlin: Springer, 2008, pp. 367–385. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-78127-1_20.

[JS93]

André Joyal and Ross Street. “Braided tensor categories”. In: Adv. Math. 102.1 (1993), pp. 20–78. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1993.1055.

[JSV96]

André Joyal, Ross Street, and Dominic Verity. “Traced monoidal categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119.3 (1996), pp. 447–468. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100074338.

[KL80]

G. M. Kelly and M. L. Laplaza. “Coherence for compact closed categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 19 (1980), pp. 193–213. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90101-2.

[Pon10]

Kate Ponto. “Fixed point theory and trace for bicategories”. In: Astérisque 333 (2010), pp. xii+102. arXiv: 0807.1471.

[PS13]

Kate Ponto and Michael Shulman. “Shadows and traces in bicategories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 8.2 (2013), pp. 151–200. arXiv: 0910.1306. url: https://doi.org/10.1007/s40062-012-0017-0.

[PS14]

Kate Ponto and Michael Shulman. “Traces in symmetric monoidal categories”. In: Expo. Math. 32.3 (2014), pp. 248–273. arXiv: 1107.6032. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2013.12.003.

[ST12]

Stephan Stolz and Peter Teichner. “Traces in monoidal categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.8 (2012), pp. 4425–4464. arXiv: 1010.4527. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05615-7.