Brace やその変種

アーベル群上にもう1つの演算が定義されたものとして, brace と呼ばれるものがある。Skew brace という変種もある。

アーベル群上にもう1つの演算を定めたものというと, 環を思い出すが, brace ではもう1つの演算も \(0\) を単位元として 群になっているので, 環とは大きく異なるものである。 もちろん分配法則も成り立たない。類似の規則はあるが。

代数的構造なので (コ)ホモロジーを考えたくなるが, 実際, Lebed と Vendramin [LV16] が2種類のコホモロジーを定義している。

Brace は Rump [Rum07] により, そして skew brace は Guarnieri と Vendramin [GV17] により, 導入された。 その動機は, Yang-Baxter 方程式の解 (set-theoretical solution) を構成することだったようである。

• Yang-Baxter 方程式

Yang-Baxter 方程式との関係については, Cedó, Jespers, Okniński の論文 [CJO14] や Bachiller の [Bac18] を見るとよい。

Vendramin による Yang-Baxter 方程式と brace に関する問題のリスト [Ven19] がある。

Yang-Baxter 方程式と関係ある代数的構造としては, 他にも rack があるが, Bachiller の論文 [Bac18] には rack との関係も述べられている。

Skew brace は, Hopf-Galois extension など他の様々な代数的構造と関係があるようである。 これについては, Childs の [Chi19] に歴史的なことも含め詳しく書かれている。

Childs は, この論文で bi-skew brace という変種を導入している。Skew brace は, 集合に2つの群演算が定義されていてある条件をみたすものであるが, その条件は2つの演算に対し非対称である。 その2つの演算を入れ替えた条件も成りたつことを要求したのが bi-skew brace である。

• bi-skew brace

群の一般化 (線形化, 非可換化) として Hopf algebra があるが, brace のその方向での一般化として Angiono, Galindo, Vendramin [AGV17] の Hopf brace がある。

Dynamical Yang-Baxter equation に対応した dynamical brace というものも Matsumoto [Mat] により定義されている。

References

[AGV17]

Iván Angiono, César Galindo, and Leandro Vendramin. “Hopf braces and Yang-Baxter operators”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 145.5 (2017), pp. 1981–1995. arXiv: 1604.02098. url: https://doi.org/10.1090/proc/13395.

[Bac18]

David Bachiller. “Solutions of the Yang-Baxter equation associated to skew left braces, with applications to racks”. In: J. Knot Theory Ramifications 27.8 (2018), pp. 1850055, 36. arXiv: 1611.08138. url: https://doi.org/10.1142/S0218216518500554.

[Chi19]

Lindsay N. Childs. “Bi-skew braces and Hopf Galois structures”. In: New York J. Math. 25 (2019), pp. 574–588. arXiv: 1904.08814.

[CJO14]

Ferran Cedó, Eric Jespers, and Jan Okniński. “Braces and the Yang-Baxter equation”. In: Comm. Math. Phys. 327.1 (2014), pp. 101–116. arXiv: 1205.3587. url: https://doi.org/10.1007/s00220-014-1935-y.

[GV17]

L. Guarnieri and L. Vendramin. “Skew braces and the Yang-Baxter equation”. In: Math. Comp. 86.307 (2017), pp. 2519–2534. arXiv: 1511.03171. url: https://doi.org/10.1090/mcom/3161.

[LV16]

Victoria Lebed and Leandro Vendramin. “Cohomology and extensions of braces”. In: Pacific J. Math. 284.1 (2016), pp. 191–212. arXiv: 1601.01633. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2016.284.191.

[Mat]

Diogo Kendy Matsumoto. Combinatorial aspects of dynamical Yang-Baxter maps and dynamical braces. arXiv: 1105.5752.

[Rum07]

Wolfgang Rump. “Braces, radical rings, and the quantum Yang-Baxter equation”. In: J. Algebra 307.1 (2007), pp. 153–170. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.03.040.

[Ven19]

Leandro Vendramin. “Problems on skew left braces”. In: Adv. Group Theory Appl. 7 (2019), pp. 15–37. arXiv: 1807.06411. url: https://doi.org/10.32037/agta-2019-003.