Algebraic L-theory

\(L\)-group \(L_*(R)\) とは, algebraic \(K\)-theory of forms とも呼ばれるもので, 代数的に定義される。Quadratic form や Hermitian form を 調べるためのものである。 C.T.C. Wall [Wal99] により, surgery のために導入された。

Ranicki により研究され, spectrum の ホモトピー群として表せることも分かっている。 単体的複体 \(X\) に対して\(L_*(R,X)\) という群も定義できる。 Ranicki と Weiss は, [RW12] でその定義を \(\Delta \)-set (semisimplicial set) に拡張している。

基本的な文献としては, Ranicki の [Ran92] を挙げるべきだろうか。 Lurie は, lecture notes [Lur] を公開している。

Ranicki の approach では, additive category with chain duality という構造が基礎になる。

• additive category with chain duality

\(L\)-group は, symmetric bilinear form から作られる Witt group という群と深い関係にある。Witt group は可換環に対して定義されるものだから, 自然に 代数幾何学的な拡張がある。 トポロジーの \(L\)-theory との関係を調べたものとして, Woolf の [Woo08] がある。 Siegel の Witt space の cobordism と十分高い次元で同型になることも示されている。

Higher Grothendieck-Witt group, あるいは Hermitian \(K\)-theory との関係は, Calmès らの [Cal+26] で調べられている。

\(C^{*}\)-algebra を単なる involution を持つ algebra とみなして, その \(L\)-theory を調べることも行なわれている。 Land と Nikolaus の [LN18] など。その section 2 には, spectrum としての \(C^{*}\)-algebra の \(K\)-theory や \(L\)-theory について簡潔にまとめられている。

References

[Cal+26]

Baptiste Calmès et al. “Hermitian K-theory for stable \(\infty \)-categories III: Grothendieck-Witt groups of rings”. In: Ann. of Math. (2) 204.1 (2026), pp. 119–220. arXiv: 2009.07225. url: https://doi.org/10.4007/annals.2026.204.1.2.

[LN18]

Markus Land and Thomas Nikolaus. “On the relation between \(K\)- and \(L\)-theory of \(C^*\)-algebras”. In: Math. Ann. 371.1-2 (2018), pp. 517–563. arXiv: 1608.02903. url: https://doi.org/10.1007/s00208-017-1617-0.

[Lur]

Jacob Lurie. Algebraic \(L\)-theory and Surgery. Course website for 287x (offered Spring 2011 at Harvard). url: https://www.math.ias.edu/~lurie/287x.html.

[Ran92]

A. A. Ranicki. Algebraic \(L\)-theory and topological manifolds. Vol. 102. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 1992, pp. viii+358. isbn: 0-521-42024-5.

[RW12]

Andrew Ranicki and Michael Weiss. “On the algebraic \(L\)-theory of \(\Delta \)-sets”. In: Pure Appl. Math. Q. 8.2 (2012), pp. 423–449. arXiv: math/0701833. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2012.v8.n2.a3.

[Wal99]

C. T. C. Wall. Surgery on compact manifolds. Vol. 69. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xvi 302. isbn: 0-8218-0942-3.

[Woo08]

Jon Woolf. “Witt groups of sheaves on topological spaces”. In: Comment. Math. Helv. 83.2 (2008), pp. 289–326. arXiv: math/0510196. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/125.