Sums of Squares

“Sums of squares” とは, 体 \(k\) 上の多項式環 \(k[x_1,\ldots ,x_r,y_1,\ldots ,y_s]\) の中で sums of squares の積を sum of squares として表わせるか, という問題である。つまり \[ (x_1^2+\cdots +x_r^2)(y_1^2+\cdots +y_s^2) = z_1^2+\cdots +z_n^2 \] が成り立つような \(z_1,\ldots ,z_n\) が存在するか, ということである。 もちろん, これは係数の体にも \(r,s,n\) という数にも依る。

標数 \(0\) の体上では, 古典的な代数的トポロジーの道具が有効である。Astey の [Ast80] や Don Davis の [Dav74; Dav84] など。 Dugger と Isaksen は, より新しい道具 (motivic homotopy theory など) を用いて, 正標数の場合を考えている。 [DI07; DI05; DI08] である。

References

[Ast80]

Luis Astey. “Geometric dimension of bundles over real projective spaces”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 31.122 (1980), pp. 139–155. url: http://dx.doi.org/10.1093/qmath/31.2.139.

[Dav74]

Donald Davis. “Generalized homology and the generalized vector field problem”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 25 (1974), pp. 169–193. url: https://doi.org/10.1093/qmath/25.1.169.

[Dav84]

Donald M. Davis. “A strong nonimmersion theorem for real projective spaces”. In: Ann. of Math. (2) 120.3 (1984), pp. 517–528. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971086.

[DI05]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “Algebraic \(K\)-theory and sums-of-squares formulas”. In: Doc. Math. 10 (2005), pp. 357–366. arXiv: math/0407226.

[DI07]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “The Hopf condition for bilinear forms over arbitrary fields”. In: Ann. of Math. (2) 165.3 (2007), pp. 943–964. arXiv: math/0309197. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.165.943.

[DI08]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “Etale homotopy and sums-of-squares formulas”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 145.1 (2008), pp. 1–25. arXiv: math/0609301. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004108001205.