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並列処理の理論のモデルとして, ホモトピー論的な概念が有効であることが発見されて以降, 様々なモデルが考えられてきた。
通常のホモトピーとの最大の違いは, 逆に戻れないことである。同様の問題は, stratified space でのホモトピーを扱うときにも起こる。例えば,
Woolf の [Woo09] など。
そのようなホモトピーを directed homotopy と言ったりする。Bubenik [Bub09] は, そのようなモデルを研究する分野を
directed algebraic topology と呼んでいる。Grandis による本 [Gra09] も出た。
Concurrency の topological model には様々なものがある。例えば, 以下のようなもの。
これらについては, Gaucher が一連の論文 [Gau; Gau07; Gau06a; Gau06b; Gau08a]
の中で詳しく調べている。
Bubenik の [Bub] によると, これらのモデルは皆「大きすぎる」ことが問題のようである。そこで, ホモトピー論で行なっているように,
“weakly equivalent” なものを同一視したいところなのだが, どれとどれを同一視するかというのは, 「まわりの状況 (context)」
を見ないと決めることはできないのである。そこで Bubenik は context という概念を導入し, context に従って2つの object
を同一視するかどうかを決めることを提案している。
HDA に使われる degeneracy を持たない cubical set (\(\Box \)-set あるいは precubical set) については, Kahl
[Kah12] が, その directed homotopy type を変えないように小さくすることを考えている。Precubical
set の covering について考えているのは, Goubault と Haucourt と Krishnan の [GHK09]
である。
Gaucher の [Gau08b] によると, [Gau05] で定義された branching (merging) homology
とうまく合うのは, flow の category だけらしい。
Fajstrup と Rosický の [FR08] では, Jeff Smith のアイデアに基づいた “convenient category”
が提案されている。
Husainov [Hus04] は, small category の1次のホモロジー群を flow として解釈することを提案している。 その後,
[Hus] では Baues-Wirsching homology を使うことを考えている。
計算機科学以外での directed homotopy theory の応用として, Lee と Yetter [LY22b; LY22a]
による試みがある。 3次元多様体の中に link やその Seifert surface が含まれている状況を stratified space
と考え, その stratified space から Grandis の意味の directed space を作り, それに対し directed
homotopy theory で開発された不変量を適用することを, 考えている。使っているのは, 主に fundamental category
であるが。
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