基本群と幾何学的構造

ある群 \(G\) が与えられたとき, その群を基本群に持つ空間が存在するか, という問題は, 空間に条件を付けなければ肯定的に解ける。 分類空間 \(BG\) の基本群が \(G\) だからである。 しかしながら \(BG\) は無限次元の空間であることが多く, もっと小さな空間で実現できないか,と考えるのは自然である。

• Non-measurable cardinality を持つ群は compact 空間の基本群として実現できる。[KR]

多様体の基本群として実現できるかというのは, 重要な問題である。

• 任意の finitely presented group は, 可微分コンパクト連結 \(4\)次元多様体の基本群として実現できる。
• 任意の finitely presented group は, コンパクト連結 \(3\)次元複素多様体の基本群として実現できる。 [Tau92]

更に条件を強くして, Kähler 多様体の場合は, Amorós, Burger, Corlette, Kotschick, Toledo の [Amo+96] という本がある。そして, Dimca, Papadima, Suciu によると 「どのような finitely presented group が smooth quasi-projective algebraic variety の基本群として実現できるか」というのは, Serre の問題らしい。

Dimca, Papadima, Suciu は [DPS] で群が \(1\)-formal という視点から, ある条件を求めている。この「群のformality」というのは, Sullivan により [Sul77] で導入された概念である。Leidy と Maxim は, [LMa; LMb] で \(\bbC ^2\) の中の algebraic curve の complement の場合を考えている。 実次元では余次元 \(2\) なので, 結び目の場合と似ている。 一般に, 任意の finitely presented group が irreducible complex projective variety の基本群として実現できることは, Simpson [Sim11] により証明された。その後, Kapovich [Kap] により2次元 irreducible complex projective variety の基本群として実現できることが示されている。

代数多様体の基本群に関することとしては, characteristic variety というものがある。Dimca の survey [Dim07] がある。Character variety \(\Hom (\pi _1(X),\bbC ^{\ast })\) の subvariety で, 指標から定義される局所係数コホモロジーの次元を用いて定義される。

3次元多様体の基本群になっている right-angled Artin group の特徴付けは, Droms の [Dro87] で得られている。

このように, 基本群は多様体の構造とも深く結び付いている。 [GS] では, \(S^1\)-action を持つ symplectic 多様体の基本群を求める, という問題が提起されている。また曲率などを用いて Riemann 多様体の基本群が自明になったり, 有限だったりする条件を記述することもできる。Yeganefar という人が [Yeg] で open manifold について調べている。

特別な種類の多様体に限定すれば “rigidity” が成り立つ。つまり, 基本群が同型ならば多様体どうしが同相 (またはisometric) になる。有名なの は, Mostow rigidity である。Lafont は, ある種の stratified manifold に関する rigidity を [Laf] で調べている。

他に多様体の幾何と基本群の関係として monodromy がある。

• monodromy

コンパクト Kähler 多様体には, Hodge 構造が入る。Simpson [Sim92] により, Higgs bundle と局所系の対応を用いたものであるが, Higgs bundle の “stability condition” と関係があるようで興味深い。

References

[Amo+96]

J. Amorós, M. Burger, K. Corlette, D. Kotschick, and D. Toledo. Fundamental groups of compact Kähler manifolds. Vol. 44. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996, pp. xii+140. isbn: 0-8218-0498-7.

[Dim07]

Alexandru Dimca. “On the irreducible components of characteristic varieties”. In: An. Ştiinţ. Univ. “Ovidius” Constanţa Ser. Mat. 15.1 (2007), pp. 67–73. arXiv: math/0703257.

[DPS]

Alexandru Dimca, Stefan Papadima, and Alexander I. Suciu. Formality, Alexander invariants, and a question of Serre. arXiv: math/0512480.

[Dro87]

Carl Droms. “Graph groups, coherence, and three-manifolds”. In: J. Algebra 106.2 (1987), pp. 484–489. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(87)90010-X.

[GS]

L. Godinho and M. E. Sousa-Dias. The fundamental group of \(S^1\)-manifolds. arXiv: math.SG/0505420.

[Kap]

Michael Kapovich. Dirichlet fundamental domains and complex-projective varieties. arXiv: 1201.3129.

[KR]

James E. Keesling and Yuli B. Rudyak. Fundamental groups of compact Hausdorff spaces. arXiv: math/0501463.

[Laf]

J. -F. Lafont. Rigidity of hyperbolic P-manifolds: a survey. arXiv: math/0510259.

[LMa]

Constance Leidy and Laurentiu Maxim. Higher-order Alexander invariants of plane algebraic curves. arXiv: math/0509462.

[LMb]

Constance Leidy and Laurentiu Maxim. Obstructions on fundamental groups of plane curve complements. arXiv: math/0703008.

[Sim11]

Carlos Simpson. “Local systems on proper algebraic \(V\)-manifolds”. In: Pure Appl. Math. Q. 7.4, Special Issue: In memory of Eckart Viehweg (2011), pp. 1675–1759. arXiv: 1010.3363. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a27.

[Sim92]

Carlos T. Simpson. “Higgs bundles and local systems”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 75 (1992), pp. 5–95. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0.

[Sul77]

Dennis Sullivan. “Infinitesimal computations in topology”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 47 (1977), 269–331 (1978).

[Tau92]

Clifford Henry Taubes. “The existence of anti-self-dual conformal structures”. In: J. Differential Geom. 36.1 (1992), pp. 163–253. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214448445.

[Yeg]

Nader Yeganefar. On the fundamental group of some open manifolds. arXiv: math/0510595.