Nerve Theorem

被覆の各部分集合が可縮なとき, 被覆から作られる poset の分類空間が元の空間とホモトピー同値である, という事実は nerve theorem と呼ばれている。もちろん, 被覆に対して各部分集合が可縮ということ以外にもそれなりの条件を科す必要があるが。

特に, 組み合せ論の問題に代数的トポロジーの道具を使おうとするときには, 基本的な定理である。 Persistent homology の拠り所となる事実でもある。

組み合せ論の文献では, Björner のsurvey [Bjö95] がよく参照されているが, より古くは, Segal の [Seg68] や McCord の [McC67] に書かれている。 Govc と Skrava [GS18] では, Hatcher の本 [Hat02] の Corollary 4G.3 が参照されている。 恐らくこれが一番読みやすいと思う。

Adamaszek らの [Ada+16] では Borsuk の [Bor48] も参照されている。また, Govc と Skrava の [GS18]では, Alexandroff の [Ale28] が, 参照されている。 これが nerve theorem が最初に現れた文献なのだろうか。 ホモロジー版は Leray [Ler45] により発見されていたようであるが。 Chen と Looijenga の [CL21] では「Weil が証明した」 と書かれているが, 現在の形のものは Weil [Wei52] によるようである。

Functorial であることに拘ったものとしては, Bauer らの [Bau+] がある。その Introduction に歴史的なことも書かれている。

Chen と Looijenga は, 論文 [CL21] で可縮な空間ではなく, \(K(\pi ,1)\) による被覆から元の空間のホモトピー型を復元することを考えている。 被覆のそれぞれの空間が \(K(\pi ,1)\) ならば, それらの universal cover を取ることにより, 可縮な空間の族が得られる。包含を cover する写像をそれらの間の morphism と定義することにより small category ができ, その分類空間が元の空間とホモトピー同値になるのである。 この事実は, 元々は Lubkin が [Lub67] で証明したことのようである。 Chen と Looijenga はその一般化を得ている。

よく用いられるのは, 共通部分を取ることで閉じた開被覆で, それぞれの開集合が可縮ならば, その開集合達が包含関係で成す poset の分類空間が元の空間と (弱) ホモトピー同値になる, という主張である。

Segal [Seg68] は, topological category の分類空間を用いることで, この「各開集合が可縮」という条件を除くことができることに気が付いた。 現代的には, Duggar と Isaksen [DI04] が示しているように, homotopy colimit を用いるべきだろう。

別の方向では, Björner が [Bjö03] で, 弱ホモトピー同値という結論を弱め, ホモトピー群がどこまで消えているかについての評価を得ている。

References

[Ada+16]

Michał Adamaszek, Henry Adams, Florian Frick, Chris Peterson, and Corrine Previte-Johnson. “Nerve complexes of circular arcs”. In: Discrete Comput. Geom. 56.2 (2016), pp. 251–273. arXiv: 1410. 4336. url: https://doi.org/10.1007/s00454-016-9803-5.

[Ale28]

Paul Alexandroff. “Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung”. In: Math. Ann. 98.1 (1928), pp. 617–635. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01451612.

[Bau+]

Ulrich Bauer, Michael Kerber, Fabian Roll, and Alexander Rolle. A Unified View on the Functorial Nerve Theorem and its Variations. arXiv: 2203.03571.

[Bjö03]

Anders Björner. “Nerves, fibers and homotopy groups”. In: J. Combin. Theory Ser. A 102.1 (2003), pp. 88–93. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0097-3165(03)00015-3.

[Bjö95]

A. Björner. “Topological methods”. In: Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2. Amsterdam: Elsevier, 1995, pp. 1819–1872.

[Bor48]

Karol Borsuk. “On the imbedding of systems of compacta in simplicial complexes”. In: Fund. Math. 35 (1948), pp. 217–234.

[CL21]

Jiaming Chen and Eduard Looijenga. “The homotopy type of the Baily-Borel and allied compactifications”. In: Homology Homotopy Appl. 23.2 (2021), pp. 95–119. arXiv: 1508.05599. url: https://doi.org/10.4310/hha.2021.v23.n2.a6.

[DI04]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “Topological hypercovers and \(\mathbb {A}^1\)-realizations”. In: Math. Z. 246.4 (2004), pp. 667–689. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-003-0607-y.

[GS18]

Dejan Govc and Primoz Skraba. “An approximate nerve theorem”. In: Found. Comput. Math. 18.5 (2018), pp. 1245–1297. arXiv: 1608. 06956. url: https://doi.org/10.1007/s10208-017-9368-6.

[Hat02]

Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002, pp. xii+544. isbn: 0-521-79160-X; 0-521-79540-0.

[Ler45]

Jean Leray. “Sur la forme des espaces topologiques et sur les points fixes des représentations”. In: J. Math. Pures Appl. (9) 24 (1945), pp. 95–167.

[Lub67]

S. Lubkin. “On a conjecture of André Weil”. In: Amer. J. Math. 89 (1967), pp. 443–548. url: https://doi.org/10.2307/2373129.

[McC67]

Michael C. McCord. “Homotopy type comparison of a space with complexes associated with its open covers”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), pp. 705–708. url: https://doi.org/10.2307/2035443.

[Seg68]

Graeme Segal. “Classifying spaces and spectral sequences”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 34 (1968), pp. 105–112. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__105_0.

[Wei52]

André Weil. “Sur les théorèmes de de Rham”. In: Comment. Math. Helv. 26 (1952), pp. 119–145.