Derived Functors of Limits and Colimits

Abel圏での limit は, left exact functor であり colimit は right exact functor である。これは adjoint functor の性質からすぐ分かるが, 一般にはこれらは exact functor ではない。 よって, その derived functor が考えられる。

特に, sequential limit の first derived functor \({\lim }^1\) が無限複体の cohomology を調べるときに必要なことは, Milnor [Mil62] による発見である。 Sequential limit の \({\lim }^{1}\) だけなら, 直接定義するのも難しくない。

• sequential limit の \({\lim }^1\)

Abelian category での sequential limit と \(\lim ^1\) については, Eilenberg と Moore の [EM62] を読むとよいだろう。 日本語なら [荒木捷75] に解説がある。

より一般に, cofiltered limit の derived functor については, Rudyak の本 [Rud98] の Chapter III の section 2 がある。 更に詳しい性質は, Neeman の triangulated category の本 [Nee01] の Appendix A に書かれている。

Abel群の圏での \(\lim ^{1}\) の重要な性質としては, Mittag-Leffler condition の下で \({\lim }^1\) が消えることがあるが, これは一般の Abelian category では成り立たない。 Roosの [Roo61] での「定理」に対する反例が, Neeman により [Nee02] で与えられている。

• Mittag-Leffler condition

その後, Roos は, [Roo06] で Mittag-Leffler condition の下で \(\lim ^1\) が消えるためにはどのよう条件が必要かを考察している。

より一般の limit や colimit がどのような場合に exact functor になるか調べたものとして, Argudín-Monroy と Parra の [AP] がある。

一般の limit の derived functor については, それを計算する resolution の構成も含め, Neeman の triangulated category の本 [Nee01] の Appendix A に詳しく書かれている。

このような一般の limit の derived functor が使われている例として, 例えば, Oliver の [Oli94] がある。 後は Bousfield と Kan の [BK72] ぐらいだろうか。 と思っていたら, 最近 Ivanov と Mikhailov の [IM15] が出た。 群のホモロジーなどに使うことを考えている。

References

[AP]

A. Argudín-Monroy and C. E. Parra. Exactness of limits and colimits in abelian categories revisited. arXiv: 2203.15096.

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. v+348.

[EM62]

Samuel Eilenberg and John C. Moore. “Limits and spectral sequences”. In: Topology 1 (1962), pp. 1–23. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(62)90093-9.

[IM15]

Sergei O. Ivanov and Roman Mikhailov. “A higher limit approach to homology theories”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.6 (2015), pp. 1915–1939. arXiv: 1309.4920. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.07.016.

[Mil62]

J. Milnor. “On axiomatic homology theory”. In: Pacific J. Math. 12 (1962), pp. 337–341. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103036730.

[Nee01]

Amnon Neeman. Triangulated categories. Vol. 148. Annals of Mathematics Studies. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2001, pp. viii+449. isbn: 0-691-08685-0; 0-691-08686-9.

[Nee02]

Amnon Neeman. “A counterexample to a 1961 “theorem” in homological algebra”. In: Invent. Math. 148.2 (2002). With an appendix by P. Deligne, pp. 397–420. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220100197.

[Oli94]

Bob Oliver. “Higher limits via Steinberg representations”. In: Comm. Algebra 22.4 (1994), pp. 1381–1393. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879408824911.

[Roo06]

Jan-Erik Roos. “Derived functors of inverse limits revisited”. In: J. London Math. Soc. (2) 73.1 (2006), pp. 65–83. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024610705022416.

[Roo61]

Jan-Erik Roos. “Sur les foncteurs dérivés de \(\underleftarrow \lim \). Applications”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 252 (1961), pp. 3702–3704.

[Rud98]

Yuli B. Rudyak. On Thom spectra, orientability, and cobordism. Springer Monographs in Mathematics. With a foreword by Haynes Miller. Berlin: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+587. isbn: 3-540-62043-5.

[荒木捷75]

荒木捷朗. 一般コホモロジー. Vol. 4. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.