Zonotopes

立方体の affine map による像として得られる 多面体を zonotope という。平行移動の分を除けば線形写像による像と言ってもよいので, 行列から得られる。また, いくつかの線分の Minkowski sum で得られる多面体と言っても良い。

hyperplane arrangement とも関連がある。Ziegler の本 [Zie95] の §7.3 に書かれている。Lattice zonotope について解説としては, Braun と Vindas-Meléndez の [BV19] がある。

Permutahedron に associate した hyperplane arrangement は, braid arrangement であるが, braid arragement の deformation で得られる permutahedron の一般化について, [Ath99] で調べられている。 Zonotope に関連したことについては, Holz と Ron の [HR11] で zonotopal algebra の理論として調べられている。Xu との [HRX12] もある。Holz と Ron は次の3種類の algebra を定義している。

• external zonotopal algebra
• central zonotopal algebra
• internal zonotopal algebra

グラフからは, graphical zonotope という zonotope が作られる。Stanley の [Sta07] にある。

• graphical zonotope

多面体ではないが, zonotope の Hausdorff metric に関する極限は zonoid と呼ばれている。Braides と Chambolle [BC24] は, Schneider の本 [Sch14] を参照している。

• zonoid

References

[Ath99]

C. A. Athanasiadis. “Piles of cubes, monotone path polytopes, and hyperplane arrangements”. In: Discrete Comput. Geom. 21.1 (1999), pp. 117–130. arXiv: math/9701207. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00009404.

[BC24]

Andrea Braides and Antonin Chambolle. “Ising systems, measures on the sphere, and zonoids”. In: Tunis. J. Math. 6.2 (2024), pp. 299–319. arXiv: 2305.11054. url: https://doi.org/10.2140/tunis.2024.6.299.

[BV19]

Benjamin Braun and Andrés R. Vindas-Meléndez. “A brief survey on lattice zonotopes”. In: Algebraic and geometric combinatorics on lattice polytopes. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2019, pp. 101–116. arXiv: 1808.04933.

[HR11]

Olga Holtz and Amos Ron. “Zonotopal algebra”. In: Adv. Math. 227.2 (2011), pp. 847–894. arXiv: 0708.2632. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.02.012.

[HRX12]

Olga Holtz, Amos Ron, and Zhiqiang Xu. “Hierarchical zonotopal spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.2 (2012), pp. 745–766. arXiv: 0910.5543. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05329-8.

[Sch14]

Rolf Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. expanded. Vol. 151. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2014, pp. xxii+736. isbn: 978-1-107-60101-7.

[Sta07]

Richard P. Stanley. “An introduction to hyperplane arrangements”. In: Geometric combinatorics. Vol. 13. IAS/Park City Math. Ser. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 389–496. url: https://doi.org/10.1090/pcms/013/08.

[Zie95]

Günter M. Ziegler. Lectures on polytopes. Vol. 152. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. x+370. isbn: 0-387-94365-X. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8431-1.