安定ホモトピー圏の性質

安定ホモトピー圏について, 初期の重要な論文として Freyd の [Fre66] がある。この中で述べられている Generating Hypothesis は, 現在でも安定ホモトピー論の重要な課題である。

スペクトラムの圏のホモトピー圏は, triangulated category になり, Abelian categoryderived category などと一緒に統一して扱うことができる。

しかしながら, 逆に, triangulated category を理解するためには, スペクトラムの圏を知っておいた方がよいのも事実である。A. Neeman の仕事 [Nee92; Nee96; Nee97] に代表されるように, スペクトラムの圏の概念や定理が, 一般の triangulated category に導入されるようになっているからである。

スペクトラムの圏のホモトピー圏に似た triangulated category は, 様々な分野でよく現われる。それを axiomatic に調べようというのが Strickland や Hovey の言うところの “axiomatic stable homotopy theory” である。これについては, Strickland の survey [Str04] を見るとよい。そこには以下のような例が挙げられている:

  • Boardman の stable homotopy category
  • \(E(n)\)-local spectra の成す subcategory
  • \(K(n)\)-local spectra の成す subcategory
  • コンパクト Lie群 \(G\) に対し, complete universe で index の付けられた \(G\)-spectra の homotopy category
  • commutative \(S\)-algebra \(R\) 上の module spectrum の homotopy category
  • 可換環 \(R\) に対し, \(R\)-module の derived category
  • Frobenius algebra 上の stable module category
  • \(\mathrm{MU}_*(\mathrm{MU})\)-comodule の derived category

奇素数での \(E(1)\)-local spectra の成す triangulated category については, Franke による代数的なモデル [Fra] がある。 Roitzheim ら [Roi08; BR11] が調べている。

Frobenius algebra の典型的な例は, 体上の有限群の group ring, より一般に体上の有限次元 Hopf algebra である。 Strickland の survey に書いてあるのも, 実は group ring の場合である。 一般の Frobenius algebra 上の stable module category が triangulated category になることは, Happel の [Hap88] を見るとよい。

これらの他に, 以下の圏が, ある著者の公理をみたすが他の著者の公理をみたさない, あるいは, 公理をみたすかどうか分かっていない例として Strickland の survey に挙げられている。

  • 非可換環上の module の derived category
  • affine ではない scheme 上の quasi-coherent sheaf の derived category
  • incomplete universe で index の付けられた \(G\)-spectra の homotopy category
  • 各種 motivic spectra の homotopy category

この内, 2番目の affine でない scheme 上の quasi-coherent sheaf の derived category の場合については, [Alo+08] で解決されたようである。

90年代に spectrum の理論が精密化されたおかげで, homotopy category を取る前の圏で考えられるようになった。 そのような圏の構造として以下のようなものがある。

スペクトラムの圏の研究は, 80年代終りの Devinatz, Hopkins, Smith の仕事 [DHS88; Rav92] 以降, 飛躍的に進んだ。そのことについては以下にまとめた。

Stable homotopy category の性質を調べるためには, thick subcategory という概念は非常に有用である。

例えば, Chebolu の thesis [Che05] や Oberwolfach の report [Che06] を見るとよい。

1元数体との関係については, Anevski の [Ane] がある。

References

[Alo+08]

Leovigildo Alonso Tarrı́o, Ana Jeremı́as López, Marta Pérez Rodrı́guez, and Marı́a J. Vale Gonsalves. “The derived category of quasi-coherent sheaves and axiomatic stable homotopy”. In: Adv. Math. 218.4 (2008), pp. 1224–1252. arXiv: 0706.0493. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.03.011.

[Ane]

Stella Anevski. Reconstructing the spectrum of \(\F _1\) from the stable homotopy category. arXiv: 1103.1235.

[BR11]

David Barnes and Constanze Roitzheim. “Monoidality of Franke’s exotic model”. In: Adv. Math. 228.6 (2011), pp. 3223–3248. arXiv: 1004.4114. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2011.08.005.

[Che05]

Sunil Kumar Chebolu. Refinements of chromatic towers and Krull-Schmidt decompositions in stable homotopy categories. Thesis (Ph.D.)–University of Washington. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2005, p. 105. isbn: 978-0542-17709-5. arXiv: math/0607726.

[Che06]

Sunil K. Chebolu. “Thick subcategories in stable homotopy theory”. In: Oberwolfach Report 8 (2006), pp. 12–20. arXiv: math/0607245.

[DHS88]

Ethan S. Devinatz, Michael J. Hopkins, and Jeffrey H. Smith. “Nilpotence and stable homotopy theory. I”. In: Ann. of Math. (2) 128.2 (1988), pp. 207–241. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971440.

[Fra]

Jens Franke. Uniqueness theorems for certain triangulated categories with an Adams spectral sequence. K-theory Preprint Archive 139. url: http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0139/.

[Fre66]

Peter Freyd. “Stable homotopy”. In: Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). New York: Springer, 1966, pp. 121–172.

[Hap88]

Dieter Happel. Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras. Vol. 119. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1988, pp. x+208. isbn: 0-521-33922-7. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511629228.

[Nee92]

Amnon Neeman. “The Brown representability theorem and phantomless triangulated categories”. In: J. Algebra 151.1 (1992), pp. 118–155. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(92)90135-9.

[Nee96]

Amnon Neeman. “The Grothendieck duality theorem via Bousfield’s techniques and Brown representability”. In: J. Amer. Math. Soc. 9.1 (1996), pp. 205–236. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-96-00174-9.

[Nee97]

Amnon Neeman. “On a theorem of Brown and Adams”. In: Topology 36.3 (1997), pp. 619–645. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(96)00021-3.

[Rav92]

Douglas C. Ravenel. Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory. Vol. 128. Annals of Mathematics Studies. Appendix C by Jeff Smith. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992, pp. xiv+209. isbn: 0-691-02572-X.

[Roi08]

Constanze Roitzheim. “On the algebraic classification of \(K\)-local spectra”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.1 (2008), pp. 389–412. arXiv: 0708.3036.

[Str04]

N. P. Strickland. “Axiomatic stable homotopy”. In: Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory. Vol. 131. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2004, pp. 69–98. arXiv: math/0307143. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-94-007-0948-5_3.