Heisenberg Algebras

Heisenberg algebra は, 量子力学での運動量と位置の関係 \[ [p,q] = 1 \] を表す代数的構造であり, Lie algebra を意味する場合も多いが, その universal enveloping algebra である associative algebra を意味することもある。

Frac と Mason [FM22; FM] のように vertex operator algebra を意味することもある。

• Heisenberg Lie algebra
• Heisenberg associative algebra
• Heisenberg vertex operator algebra

Heisenberg associative algebra には integral form がある。 そしてその categorification が Khovanov [Kho14] により構成されている。 ここでの decategorification は Grothendieck group を取ることであるが。 これについては, Morton と Vicary による解説 [MV18] がある。

• Heisenberg category

その後, Brundan, Sagave, Webster [BSW23; BSW20; BSW21] など, 様々な人によって調べられている。

References

[BSW20]

Jonathan Brundan, Alistair Savage, and Ben Webster. “On the definition of quantum Heisenberg category”. In: Algebra Number Theory 14.2 (2020), pp. 275–321. arXiv: 1812.04779. url: https://doi.org/10.2140/ant.2020.14.275.

[BSW21]

Jonathan Brundan, Alistair Savage, and Ben Webster. “Foundations of Frobenius Heisenberg categories”. In: J. Algebra 578 (2021), pp. 115–185. arXiv: 2007.01642. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2021.02.025.

[BSW23]

Jonathan Brundan, Alistair Savage, and Ben Webster. “The degenerate Heisenberg category and its Grothendieck ring”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 56.5 (2023), pp. 1517–1563. arXiv: 1812.03255.

[FM]

Cameron Franc and Geoffrey Mason. On \(p\)-adic modularity in the \(p\)-adic Heisenberg algebra. arXiv: 2309.12988.

[FM22]

Cameron Franc and Geoffrey Mason. “Character vectors of strongly regular vertex operator algebras”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 18 (2022), Paper No. 085, 49. arXiv: 2111.04616. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2022.085.

[Kho14]

Mikhail Khovanov. “Heisenberg algebra and a graphical calculus”. In: Fund. Math. 225.1 (2014), pp. 169–210. arXiv: 1009.3295. url: https://doi.org/10.4064/fm225-1-8.

[MV18]

Jeffrey C. Morton and Jamie Vicary. “The categorified Heisenberg algebra I: A combinatorial representation”. In: J. Pure Appl. Algebra 222.3 (2018), pp. 703–745. arXiv: 1207.2054. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.05.004.