各種単体的対象

単体的集合の概念は, 自然に集合以外の圏 \(\bm{C}\) に拡張され, 圏 \(\bm{C}\) における単体的対象という概念を得る。

重要な例として, 以下のものがある。

Simplicial monoid については, Bergner の [Ber07] で調べられている。

このように, “simplicial 何とか” というのは, 普通は“何とか”の圏における simplicial object のことを言う。ただし, simplicial category とは category の category での simplicial object のことではなく, simplicial setで enrich された category として定義される。 Object の集合 \(S\) をfixした simplicial category は, object の集合が \(S\) である small category の category での simplicial object とみなすことはできるが。

また, 組み合せ論で使われる simplicial poset も poset の category での simplicial object という意味ではないので, 気をつけないといけない。 Simplicial complex の face poset に似た性質を持つ poset という意味である。

一般に, 単体的対象は, monad から構成されることも多い。

  • monad からの単体的対象の構成

重要な例として, bar construction がある。

単体的対象は, 代数的トポロジー以外の分野でも使われている。例えば, 代数幾何学では, Deligne の [Del74] や Friedlander の本 [Fri82] などで使われている simplicial scheme や Jardine の [Jar87; Jar96] で調べられている simplicial (pre)sheaf など。

Wendt の [Wen11] は, simplicial sheaf の category は simplicial set の category とよく似ているという視点で書かれている。実際, その視点から simplicial sheaf の category での fibration の分類空間が構成されている。

Étale homotopy theory などでは, profinite object がよく登場する。Profinite set の圏での simplicial object は, profinite space と呼ばれるようである。 [Qui08; Qui11] など。

Simplicial scheme が使える道具なら simplicial manifold を使う人が現われても不思議ではないが, 寡聞にしてあまり見たことがなかった。Zhu の [Zhu] を見ると使い道はあるようである。

  • simplicial manifold

Felisatti と Neumann の [FN] によると, Dupont ら [Dup76; DHZ00] により使われているようである。 また, Henriques の [Hen08] では, \(L_{\infty }\)-algebra を積分したもの として使われている。

Simplicial object の一般化や変種については, 次にまとめた。

References

[Ber07]

Julia E. Bergner. “Simplicial monoids and Segal categories”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 59–83. arXiv: math/0508416.

[Del74]

Pierre Deligne. “Théorie de Hodge. III”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 44 (1974), pp. 5–77.

[DHZ00]

Johan Dupont, Richard Hain, and Steven Zucker. “Regulators and characteristic classes of flat bundles”. In: The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998). Vol. 24. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000, pp. 47–92.

[Dup76]

Johan L. Dupont. “Simplicial de Rham cohomology and characteristic classes of flat bundles”. In: Topology 15.3 (1976), pp. 233–245.

[FN]

Marcello Felisatti and Frank Neumann. Secondary theories for simplicial manifolds and classifying spaces. arXiv: 0903.4870.

[Fri82]

Eric M. Friedlander. Étale homotopy of simplicial schemes. Vol. 104. Annals of Mathematics Studies. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1982, pp. vii+190. isbn: 0-691-08288-X; 0-691-08317-7.

[Hen08]

André Henriques. “Integrating \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Compos. Math. 144.4 (2008), pp. 1017–1045. arXiv: math/0603563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003405.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[Jar96]

J. F. Jardine. “Boolean localization, in practice”. In: Doc. Math. 1 (1996), No. 13, 245–275 (electronic).

[Qui08]

Gereon Quick. “Profinite homotopy theory”. In: Doc. Math. 13 (2008), pp. 585–612. arXiv: 0803.4082.

[Qui11]

Gereon Quick. “Continuous group actions on profinite spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1024–1039. arXiv: 0906.0245. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.008.

[Wen11]

Matthias Wendt. “Classifying spaces and fibrations of simplicial sheaves”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 6.1 (2011), pp. 1–38. arXiv: 1009.2930.

[Zhu]

Chenchang Zhu. Kan replacement of simplicial manifolds. arXiv: 0812.4150.