Multicategory

\(\bm{C}\) は, object の集まりと2つの object の間の morphism の集合 \(\bm{C}(a,b)\) で記述されるが, (古典的な) multicategory は object の列 \((a_1,\ldots , a_n)\) と object \(b\) に対し集合 \(\bm{C}(a_1,\ldots ,a_n;b)\) が定まり, “合成”が定義されているものである。

最初にどれを見るのがよいのか分からないが, 例えば Leinster の本 [Lei04] の第2章は operad と multicategory について書かれている。

Object が1つの場合, 集合の列 \(\{C_{n}\}_{n\ge 0}\) に“合成”を定義することと同じであり, (対称群の作用を持たない) operad の定義と一致する。 よって, operad の一般化にもなっている。 また small category は, \(n\ge 2\) に対し \(\bm{C}(a_1,\ldots ,a_n;b)=\emptyset \) である multicategory とみなすことができる。

  • multicategory は operad と small category の共通の一般化である

Monoid の many-objectification が small category であるように, operad の many-objectification が multicategory であると考えてよい。

一方で, Nikolaus の [Nik14] の最初に書いてあるように, monoidal category は multicategory とみなすことができる。\(\bm{V}\) が monoidal category のときに, \(\bm{V}(a_1\otimes \cdots \otimes a_n,b)\) を考えればよい。 Zakharevich が [Zak18] の§1 に書いているように, tensor product (monoidal structure) が無いときにも tensor product があるかのように議論できる枠組みと思ってもよい。

  • multicategory は monoidal category の一般化である。

Operad や monoidal category は, 対称群の作用を持つものをよく用いるが, 同様に対称群の作用で入力側の object の列を入れ替えられるものも重要である。 そのようなものを symmetric multicategory という。

  • symmetric multicategory
  • symmetric multicategory は, symmetric monoidal category の一般化

この視点から, (symmetric) monoidal category に対する構成の (symmetric) multicategory への拡張を考えることができる。Nikolaus は, 無限ループ空間の構成を拡張している。 より広く, multicateogy の \((\infty ,1)\)版, つまり \(\infty \)-operad へ, であるが。

Fibered category の multicategory への一般化は, Hörmann の [Hör] にある。

  • fibered multicategory

Multicategory と同等の概念は, 何度も再発見されている。 Lambek により [Lam69] で導入されたのが最初だろう。 Berger と Moerdijk [BM07] は, colored operad という言葉を使っているが, それは operad の many-objectification ととらえているからである。更に, Beilinson と Drinfeld は [BD04]で pseudotensor category という言葉を使っている。これは, monoidal category の一般化とみなす, という視点に基づいた名前だろう。

ホモトピー論における応用としては, Elmendorf と Mandell の [EM06] で, permutative category の \(K\)-theory として現われる spectrum の構造を調べるのに使われている。

Zakharevich [Zak18]は, Waldhausen category 全体が closed symmetric multicategory の構造を持つことを示している。

新しい代数的構造を記述するのにも使える。\(k\)-linear multicategory での associative algebra object や Lie algebra object を定義することができる。 それらについては, Bakalov と D’Andrea と Kac が [BDK01] で調べている。 彼らは, Beilinson と Drinfel\('\)d に従っているので, pseudotensor category という名前を使っている。よって, これらの algebra にも “pseudo-” という接頭辞が付いている。他に有名なものとしては, planar algebra がある。

Motivic homotopy theory における代数的構造を記述するのに使おうというのが, Gutiérrez らの [Gut+] である。

\(A_{\infty }\)-category 全体を, category あるいは \(2\)-category としてみるのではなく, multicategory として考えることもできるようである。Bespalov らの [BLM08] はその視点から書かれている。 Manzyuk の [Man12] では, そこで現れた構造を一般化し, closed category の類似である closed multicategory の概念が定義されている。

  • closed multicategory

Small category に対しては, その nerve を取って simplicial set を作ることができる。そこで, multicategory (colored operad) に対して nerve の構成の拡張を考えているのが Moerdijk と Weiss の [MW07] である。 彼らは, dendroidal set という概念を導入し, multicategory の nerve を dendroidal set として定義している。

Cisinski と Moerdijk [CT12] は, simplicial set を dendroidal set に変えることにより, \((\infty ,1)\)-category の multicategory 版を考えている。その解説として Weiss の [Wei] がある。

  • \(\infty \)-operad

Getzler は, [Get09] で colored operad を更に一般化する pattern という概念を定義している。

Multicategory の拡張として polycategory というものもある。M. Szabo が [Sza75] で導入した。

  • polycategory

Koslowskiの [Kos05] や Garner の [Gar08] を見るとよい。

様々な一般化について, Cruttwell と Shulman が [CS] で統一的に扱う試みを行なっている。 そこでは, algebraic theory や 位相空間などが generalized multicategory の例として挙げられている。

  • generalized multicategory

References

[BD04]

Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld. Chiral algebras. Vol. 51. American Mathematical Society Colloquium Publications. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. vi 375. isbn: 0-8218-3528-9.

[BDK01]

Bojko Bakalov, Alessandro D’Andrea, and Victor G. Kac. “Theory of finite pseudoalgebras”. In: Adv. Math. 162.1 (2001), pp. 1–140. arXiv: math/0007121. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.1993.

[BLM08]

Yu. Bespalov, V. Lyubashenko, and O. Manzyuk. Pretriangulated \(A_{\infty }\)-categories. Vol. 76. Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Mathematics and its Applications. Natsı̄onal\('\)na Akademı̄ya Nauk Ukraı̈ni, Īnstitut Matematiki, Kiev, 2008, p. 599. isbn: 978-966-02-4861-8.

[BM07]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. “Resolution of coloured operads and rectification of homotopy algebras”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 31–58. arXiv: math/0512576.

[CS]

G. S. H. Cruttwell and Michael A. Shulman. A unified framework for generalized multicategories. arXiv: 0907.2460.

[CT12]

Denis-Charles Cisinski and Gonçalo Tabuada. “Symmetric monoidal structure on non-commutative motives”. In: J. K-Theory 9.2 (2012), pp. 201–268. arXiv: 1010.4956. url: http://dx.doi.org/10.1017/is011011005jkt169.

[EM06]

A. D. Elmendorf and M. A. Mandell. “Rings, modules, and algebras in infinite loop space theory”. In: Adv. Math. 205.1 (2006), pp. 163–228. arXiv: math/0403403. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.07.007.

[Gar08]

Richard Garner. “Polycategories via pseudo-distributive laws”. In: Adv. Math. 218.3 (2008), pp. 781–827. arXiv: math/0606735. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.02.001.

[Get09]

Ezra Getzler. “Operads revisited”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I. Vol. 269. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 675–698. arXiv: math/0701767. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4745-2_16.

[Gut+]

Javier J. Gutiérrez, Oliver Röndigs, Markus Spitzweck, and Paul Arne Østvær. Motivic slices and colored operads. arXiv: 1012.3301.

[Hör]

Fritz Hörmann. Fibered Multiderivators and (co)homological descent. arXiv: 1505.00974.

[Kos05]

Jürgen Koslowski. “A monadic approach to polycategories”. In: Theory Appl. Categ. 14 (2005), No. 7, 125–156.

[Lam69]

Joachim Lambek. “Deductive systems and categories. II. Standard constructions and closed categories”. In: Category Theory, Homology Theory and their Applications, I (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. One). Berlin: Springer, 1969, pp. 76–122.

[Lei04]

Tom Leinster. Higher operads, higher categories. Vol. 298. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 2004, pp. xiv+433. isbn: 0-521-53215-9. arXiv: math/0305049. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511525896.

[Man12]

Oleksandr Manzyuk. “Closed categories vs. closed multicategories”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 5, 132–175. arXiv: 0904.3137.

[MW07]

Ieke Moerdijk and Ittay Weiss. “Dendroidal sets”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 1441–1470. arXiv: math/0701293. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.1441.

[Nik14]

Thomas Nikolaus. “Algebraic K-Theory of \(\infty \)-Operads”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 614–641. arXiv: 1303.2198. url: http://dx.doi.org/10.1017/is014008019jkt277.

[Sza75]

M. E. Szabo. “Polycategories”. In: Comm. Algebra 3.8 (1975), pp. 663–689. url: https://doi.org/10.1080/00927877508822067.

[Wei]

Ittay Weiss. From Operads to Dendroidal Sets. arXiv: 1012.4315.

[Zak18]

Inna Zakharevich. “The category of Waldhausen categories is a closed multicategory”. In: New directions in homotopy theory. Vol. 707. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, pp. 175–194. arXiv: 1410.4834. url: https://doi.org/10.1090/conm/707/14259.