Monoid

Monoid とは, 群の定義から逆元の存在の条件を外したものである。 群は object が1つの groupoid とみなすことができるので, monoid もobject が1つの small category とみなすのが自然である。そう考えると, 群と同様に基本的な概念であることに納得できるだろう。 単位元の存在も仮定しないものは, semigroup と呼ばれる。 更に, 結合法則も仮定しないものは magma と呼ばれるようである。 他にも様々な一般化が考えられている。

Monoid や semigroupは, 当然, 代数的な構造として色々調べられている。例えば, その表現論など。

Fontaine-Illusie-Kato の log geometry (logarithmic algebraic geometry) [Kat89] でも使われる。なので, Gillam の [Gil09] や Ogus の [Ogu18] など, log geometry の解説で, 準備として述べられている。

  • log geometry

代数的トポロジーでは, 様々な場面で monoid が現れる。例えば, 基点付き空間上の, 長さを固定しない loop の成す空間, つまり Moore loop space は, 道の結合で monoid になる。 また, ある空間上の vector bundle の同型類の集合には, 直和で (可換な) monoid の構造が入る。 普通は, これに形式的に逆元を付け加えてAbel群にし, \(K\)-theory として考えるのであるが。

このように, monoid に対して群を作る操作は, group completion と呼ばれている。Topological monoid では空間レベルでの構成もあり, 多重ループ空間の理論等で重要である。

組み合せ論などで登場する monoid として, 次のようなものがある。

  • plactic monoid
  • hypoplactic monoid
  • Sylvester monoid
  • stalactic monoid
  • Taiga monoid
  • Baxter monoid

Cain と Malheiro の [CM19] で, それらの cyclic shift graph が調べられている。

  • monoid の cyclic shift graph

Coxeter system からは, Coxeter 群や Artin 群などの群が作られるが, monoid を作ることも考えられている。

  • braid monoid あるいは Artin monoid
  • dual braid monoid [Bes03]

群にならない monoid でも逆元の類似を持つ場合もある。Everitt と Fountain の [EF; EF10] では, inverse monoid と呼ばれている。 その論文では, reflection group の類似の reflection monoid という概念が定義されている。そこでは, inverse monoid についての文献として [How95; Law98] などが挙げられている。

  • inverse semigroup や inverse monoid
  • pseudogroup

Pseudogroup は, 同相や微分同相を局所的に考えるときに現われる inverse monoid の一種である。代数的トポロジーではあまり使わない, かもしれない。正確な定義は, 例えば, Thurston の [Thu97] の p.110 を見るとよい。Lawson と Lenz の [LL13] では, Resende の [Res07] が参照されている。

Pseudogroup の morphism については, Haefliger [Hae88] が定義した étale morphism があるが, それを一般化した morphism を Álvarez López と Masa が [ÁM08] で定義している。

群のように, monoid を生成元と関係式で表わすこと, つまり monoid の presentation, も考えられている。Squier の [SOK94] など。

  • monoid の presentation

Squier は, cell complex を用いることを考えている。また, small category は quiver の category での monoid object であることから, monoid の presentation を small category の presentation に一般化することもできる。 Gaussent と Guiraud と Malbos の [GGM] を見るとよい。そこでは, 高次の圏の presentation に関する文献として, Burroni の [Bur93] と Street の [Str76] が挙げられている。

  • small category の presentation

一般の monoidal category で monoid を generator と relation で表わすのは難しい。ただ free monoid を構成できる場合もある。Vallette は, [Val09] で Abelian monoidal category での free monoid の構成について述べている。

References

[ÁM08]

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[Bes03]

David Bessis. “The dual braid monoid”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 36.5 (2003), pp. 647–683. arXiv: math / 0101158. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2003.01.001.

[Bur93]

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[CM19]

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[EF]

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[EF10]

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[Str76]

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[Thu97]

William P. Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Vol. 35. Princeton Mathematical Series. Edited by Silvio Levy. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997, pp. x+311. isbn: 0-691-08304-5.

[Val09]

Bruno Vallette. “Free monoid in monoidal abelian categories”. In: Appl. Categ. Structures 17.1 (2009), pp. 43–61. arXiv: math/ 0411543. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9130-y.