圏の局所化

\(\bm{C}\) において, morphism の集合 (class) \(S\) に含まれる morphism の形式的な逆を付け加え, 圏 \(\bm{C}[S^{-1}]\) を作りたいということはよくある。 例えば次のような場合である。

何となく \(\Z \) に \(\frac{1}{p}\) を付け加えて \(\Z [\frac{1}{p}]\) を作る操作に似ているので, Gabriel と Zisman の本 [GZ67] では category of fraction と呼ばれている。まず最初は Fritz の [Fri] を読んでみる のがよいだろう。 Toën の dg category についての lecture note [Toë11] や Krause の triangulated category の localization に関する note [Kra10] の最初の方にもまとめられている。

\(\bm{C}[S^{-1}]\) を作るには, \(\bm{C}\) の morphism と \(S\) の morphism を形式的に逆向きにした morphism からできる quiver で生成された free category (path category) を適当に割ればよいが, それだと morphism が具体的にどういう形をしているのかがよく分からない。そこで Gabriel と Zisman は, \(\bm{C}[S^{-1}]\) の morphism が \(s\in S\) により \(c' \larrow{s} c \rarrow{f} d\) と表せるための条件を考えた。

  • \(S\) が calculus of left fraction を持つ
  • roof
  • \(S\) が calculus of left fraction を持つときの \(\bm{C}[S^{-1}]\) の定義
  • \(S\) が calculus of right fraction を持つこととそのときの category of fraction の定義

Gel\('\)fand と Manin の本 [GM03] では, localizing system という言葉が使われている。

Kahn と Sujatha は [KS07] で functor \(T : \bm{C} \to \bm{C}'\) が category の同値 \[ T : \bm{C}[S^{-1}] \longrightarrow \bm{C}'[(S')^{-1}] \] を誘導するための条件について考察している。

圏の局所化を考えるときに, ホモトピー論的な視点で考えた方がよいということを発見したのは, Dwyer と Kan である。彼等は, [DK80b] で, simplicial category \(L_S(\bm{C})\) を構成し \[ \pi _0(L_S(\bm{C})) = \bm{C}[S^{-1}] \] となることを示している。また [DK80a] で, その改良版として hammock localization や colimit による simplicial localization を得ている。

  • Dwyer-Kan の simplicial localization
  • hammock localization

そのアイデアは, Drinfel\('\)d による dg category の quotient の構成 [Dri04] にも使われ (現われ?) ている。

モデル圏での hammock localization と left あるいは right homotopy との関係は Raventós [Rav] により調べられている。

より高次な圏でも, 同様のことが考えられている。 例えば, Baas, Dundas, Richter, Rognes [Baa+13] は, elliptic cohomology の幾何学的な構成のために, 二つの monoidal structure を持つ category (rig category あるいは bimonoidal category) の一つの monoidal structure に関する “group completion” を考えている。Monoidal category は object が一つの bicategory と考えることができるので, monoidal category の “group completion” は monoid の group completion の categorification と考えることができる。

Dwyer-Kan の localization の \((\infty ,1)\)-category version は, Hinich [Hin] により考えられている。

古典的な高次の圏で最も一般的なのは, bicategory であるが, Pronk ら [Pro96; PW] は bicategory に対し “category of fraction” の類似を導入している。 Tommasini [Toma] が改良版を定義している。

  • bicategory of fraction

Tommasini は [Tomb] で bicategory of fraction を行なってできた bicategory が weak fiber product を持つための条件を調べている。

普通の small category に対しても, このような高次の圏の構造を用いて localization を定義してもよい。実際, Paoli と Pronk [PP] などがある。

応用としては, Roberts の [Rob] などがある。

他には, semi-localization というものもある。 Gran と Lackの [GL]では Mantovaniの [Man98], Pedicchio と Rosický の [PR00], Rosický と Tholen の [RT07] が参照されている。

  • semi-localization

References

[Baa+13]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, Birgit Richter, and John Rognes. “Ring completion of rig categories”. In: J. Reine Angew. Math. 674 (2013), pp. 43–80. arXiv: 0706.0531. url: https://doi.org/10.1515/crelle.2012.024.

[DK80a]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Calculating simplicial localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.1 (1980), pp. 17–35. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90113-9.

[DK80b]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Simplicial localizations of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 17.3 (1980), pp. 267–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90049-3.

[Dri04]

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[Fri]

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[GL]

Marino Gran and Stephen Lack. Semi-localizations of semi-abelian categories. arXiv: 1405.1092.

[GM03]

Sergei I. Gelfand and Yuri I. Manin. Methods of homological algebra. Second. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2003, pp. xx+372. isbn: 3-540-43583-2.

[GZ67]

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[Hin]

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[Kra10]

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[KS07]

Bruno Kahn and R. Sujatha. “A few localisation theorems”. In: Homology Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 137–161. arXiv: math/0610828. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127334.

[Man98]

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[PP]

Simona Paoli and Dorette Pronk. The Weakly Globular Double Category of Fractions of a Category. arXiv: 1406.4791.

[PR00]

M. Cristina Pedicchio and Jiřı́ Rosický. “Localizations of varieties and quasivarieties”. In: J. Pure Appl. Algebra 148.3 (2000), pp. 275–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)00155-8.

[Pro96]

Dorette A. Pronk. “Etendues and stacks as bicategories of fractions”. In: Compositio Math. 102.3 (1996), pp. 243–303. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1996__102_3_243_0.

[PW]

Dorette A. Pronk and Michael A. Warren. Bicategorical fibration structures and stacks. arXiv: 1303.0340.

[Rav]

Oriol Raventós. The hammock localization preserves homotopies. arXiv: 1404.7354.

[Rob]

David Michael Roberts. On certain 2-categories admitting localisation by bicategories of fractions. arXiv: 1402.7108.

[RT07]

Jiřı́ Rosický and Walter Tholen. “Factorization, fibration and torsion”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 295–314. arXiv: 0801.0063.

[Toë11]

Bertrand Toën. “Lectures on dg-categories”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 2011, pp. 243–302. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0.

[Toma]

Matteo Tommasini. Some insights on bicategories of fractions: representations and compositions of 2-morphisms. arXiv: 1410.3990.

[Tomb]

Matteo Tommasini. Weak fiber products in a bicategory of fractions. arXiv: 1412.3295.