Knot や link に対しては, 古くから様々な多項式が, 不変量として定義されてきた。
古典的な不変量である Alexander polynomial は, 基本群と被覆空間を知っていれば定義できるので,
トポロジーの入門としてもいい題材である, と思う。 様々なアプローチがあるが, ホモトピー論的には, 全射準同型 \[ \pi _1(X) \longrightarrow \Z \] から \(X\) の \(\Z \)-cyclic
covering \(X^c\) を作り, \(H_*(X^c)\) を \(\Z [t,t^{-1}]\)-module とみたとき, \(\Z [t,t^{-1}]\)-module としての代数的な不変量と考えるのがよいだろう。このアプローチについてば,
Rolfsen の本 [Rol90] を見るとよい。この構成は, \(\pi _1(X)\) から \(\Z \) への全射準同型があれば可能であり, また \(H_*(X^c)\) ではなく \(H^*(X^c)\) や \(\pi _*(X^{c})\)
を考えることもできる。 このような一般化については, [Max] をみるとよい。そこでは hypersurface complement の場合に
intersection homology との関係を調べている。
- Alexander module の定義
- Alexander polynomial の定義
他にも色々ある。
それぞれに, twisted 版や colored 版が定義されていたりする。
ホモロジー代数的には, それらの categorification として定義される各種 homology が興味深い。 Khovanov
[Kho00; Kho02; Bar02] が Jones polynomial に対し定義したのが最初だと思うが, その後様々なものが考えられ, 今では
link homology と総称されているようである。
更に, それらの元になっている stable homotopy type も発見されている。
References
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[Bar02]
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Dror Bar-Natan.
“On Khovanov’s categorification of the Jones polynomial”. In: Algebr.
Geom. Topol. 2 (2002), 337–370 (electronic). arXiv: math/0201043.
url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.337.
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[Kho00]
-
Mikhail Khovanov. “A categorification of the Jones polynomial”. In:
Duke Math. J. 101.3 (2000), pp. 359–426. arXiv: math/9908171. url:
http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-00-10131-7.
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[Kho02]
-
Mikhail Khovanov. “A functor-valued invariant of tangles”. In: Algebr.
Geom. Topol. 2 (2002), 665–741 (electronic). arXiv: math/0103190.
url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.665.
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[Max]
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Laurentiu Maxim. Intersection Homology and Alexander Modules of
Hypersurface Complements. arXiv: math/0409412.
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[Rol90]
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Dale Rolfsen. Knots and links. Vol. 7. Mathematics Lecture Series.
Corrected reprint of the 1976 original. Houston, TX: Publish or Perish
Inc., 1990, pp. xiv+439. isbn: 0-914098-16-0.
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