多重ループ空間

基点付き空間 \(X\) の \(n\)重ループ空間 \(\Omega ^nX\) は, \(n=1\) のときと \(n\ge 2\) のときで本質的な違いがある。 ホモトピー可換性である。 そのホモトピー可換性に着目することにより, 多重ループ空間の特徴付けなど, 多重ループ空間の理論が発展してきた。 多重ループ空間の研究の動機や初期の発展については, Stasheff の解説 [Sta71] をみるとよい。

まず, 荒木と工藤 [KA56b; KA56a] や Boardman と Vogt [BV68; BV73] らの研究があり, その後 Peter May [May72] が recoginition principle を証明した。

\(n=\infty \) のときも考える。 無限ループ空間という。

Peter May は, 多重ループ空間, 特に無限ループ空間についての基本的な研究を Springer Lecture Notes などから多数出版している。 [May72; CLM76; May77; Bru+86] などである。それらの PDF が May のホームページから download できるようになっているのはうれしい。

面白い試みとしては, Mark Johnson [Joh01]による多重ループ空間をある topological category上の presheafとみなす, というものがある。

このように, \(n=1\) と \(n=\infty \) の場合はきれいな理論になることが多いが, \(1<n<\infty \) の場合に model category 的に調べているのが, Berger の [Ber07] である。\(n=2\) の場合も braid 群を用いるとうまくいくのであるが, \(2<n<\infty \) の場合が問題である。 これ については, Batanin の [Bat10] がある。

さて, 代数的トポロジーを専攻するにあたって, 多重ループ空間についてどれぐらいのことを知っておくべきだろうか。 とりあえず, 思いついたことを挙げると次のような感じになる。

ループ空間は, monoidal structure を持つ small category とも関係が深い。 そのことも知っていると見通しがよくなる。この関係は, \(2\)重ループ空間と braided monoidal category, 無限ループ空間symmetric monoidal category に一般化されている。更に, \(n\)重ループ空間に対応したものとして, \(n\)重 monoidal category という概念もある。

当然, monoidal functor と分類空間上の loop map が対応している。 このことを用いて, braid群mapping class group の安定ホモロジーの間の写像の自明性を証明したのは, Song と Tillmann [ST07] である。彼らは, ループ空間を monoidal category の分類空間として表すことによりその間の loop map を monoidal functor として考える, というその手法を categorical delooping と呼んでいる。

別の視点では, Biedermann と Dwyer が [BD10] で homotopy \(n\)-nilpotent group という概念を導入している。

  • homotopy \(n\)-nilpotent group

\(n=\infty \) の場合が loop空間で \(n=1\) の場合が無限ループ空間となる。 Biederman と Dwyer は, その途中の \(n\) に対しては, operad による recognition principle は存在しないだろうと言っている。この問題に対しては, Batanin による locally constant \(n\)-operad を用いた答え [Bat10] がある。

Biederman と Dwyer は, algebraic theory を用いている。 Goodwillie 流の関手の微積分と関係が深いようで, もっとよく理解する必要があるだろう。

「自然に」現れる多重ループ空間としては, 80年代に物理との関係で調べられていた空間がある。 Boyer と Mann の [BM88b; BM88a] など。ただし, Jeremy Miller [Mil] は, その double loop structure は Fred Cohen によるものだと書いている。

References

[Bat10]

Michael A. Batanin. “Locally constant \(n\)-operads as higher braided operads”. In: J. Noncommut. Geom. 4.2 (2010), pp. 237–263. arXiv: 0804.4165. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/54.

[BD10]

Georg Biedermann and William G. Dwyer. “Homotopy nilpotent groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.1 (2010), pp. 33–61. arXiv: 0709.3925. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.33.

[Ber07]

Clemens Berger. “Iterated wreath product of the simplex category and iterated loop spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 230–270. arXiv: math/0512575. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.006.

[BM88a]

Charles P. Boyer and Benjamin M. Mann. “Homology operations on instantons”. In: J. Differential Geom. 28.3 (1988), pp. 423–465. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442472.

[BM88b]

Charles P. Boyer and Benjamin M. Mann. “Monopoles, nonlinear \(\sigma \) models, and two-fold loop spaces”. In: Comm. Math. Phys. 115.4 (1988), pp. 571–594. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161085.

[Bru+86]

R. R. Bruner, J. P. May, J. E. McClure, and M. Steinberger. \(H_{\infty }\) ring spectra and their applications. Vol. 1176. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. viii+388. isbn: 3-540-16434-0.

[BV68]

J. M. Boardman and R. M. Vogt. “Homotopy-everything \(H\)-spaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), pp. 1117–1122.

[BV73]

J. M. Boardman and R. M. Vogt. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347. Berlin: Springer-Verlag, 1973, pp. x+257.

[CLM76]

Frederick R. Cohen, Thomas J. Lada, and J. Peter May. The homology of iterated loop spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 533. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+490.

[Joh01]

Mark W. Johnson. “A sheaf-theoretic view of loop spaces”. In: Theory Appl. Categ. 8 (2001), pp. 490–508.

[KA56a]

Tatsuji Kudo and Shôrô Araki. “On \(H_*(\Omega ^{N}(S^{n});\;\Z _2)\)”. In: Proc. Japan Acad. 32 (1956), pp. 333–335.

[KA56b]

Tatsuji Kudo and Shôrô Araki. “Topology of \(H_n\)-spaces and \(H\)-squaring operations”. In: Mem. Fac. Sci. Kyūsyū Univ. Ser. A. 10 (1956), pp. 85–120.

[Mac65]

Saunders Mac Lane. “Categorical algebra”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 71 (1965), pp. 40–106. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1965-11234-4.

[May72]

J. P. May. The geometry of iterated loop spaces. Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. viii+175.

[May77]

J. Peter May. \(E_{\infty }\) ring spaces and \(E_{\infty }\) ring spectra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 577. With contributions by Frank Quinn, Nigel Ray, and Jørgen Tornehave. Berlin: Springer-Verlag, 1977, p. 268.

[Mil]

Jeremy Miller. The topology of the space of \(J\)-holomorphic maps to \(\CP ^2\). arXiv: 1210.7377.

[ST07]

Yongjin Song and Ulrike Tillmann. “Braids, mapping class groups, and categorical delooping”. In: Math. Ann. 339.2 (2007), pp. 377–393. arXiv: math/0609597. url: https://doi.org/10.1007/s00208-007-0117-z.

[Sta63]

James Dillon Stasheff. “Homotopy associativity of \(H\)-spaces. I, II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 (1963), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1963-0158400-5.

[Sta71]

James D. Stasheff. “Infinite loop spaces—a historical survey”. In: H-Spaces (Actes Réunion Neuchâtel, 1970). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 196. Berlin: Springer, 1971, pp. 43–53.