ホモトピー的構造を持った代数

このページのタイトルはちょっと長いが, 英語ではhomotopy algebraと言うこ とが多くそれほど複雑ではない。ただ, これをホモトピー代数 (homotopical algebra) と言ってしま うと別のものになってしまう。 日本語でどう言えばいいかは悩ましいところである。

ここで考えるのは, (高次)ホモトピー結合性や可換性, より一般に operadの作用などのホモトピー論で最初に位相空間に対 して定義された構造の類似を持つ代数的対象, 例えば \(A_{\infty }\)-algebraなどのことである。

どういうものかについては, まずVallette の解説 [Val] を見るの がよいように思う。そこでは“homotopical algebra”という言葉が使われてい るが。Khudaverdyanの thesis [Khu]の Chapter 2でも簡潔にまと められている。 今なら, 詳しくは Loday と Vallette の本 [LV12] を見るべきだろうが。

Valletteの解説では\(A_{\infty }\)-algebraが, Khudaverdyanのthesis では \(L_{\infty }\)-algebra が例として使われているように, できるだけ多くの例に触れるのがいいと思う。

“Homotopy algebra”の“homotopy”という単語は operadの作用に由来する。対応する 空間のoperadを知っていると理解しやすい だろう。

通常の代数的構造の一般化としてHochschild (co)homologyなどの(co)homology theoryの拡張が考えられる。HamiltonとLazarevの[HL09]を見るとよ い。

Twisted tensor productの拡張については, M. Millerの[Mil]で考 えられている。

Homotopy algebraは, 空間と類似の性質を持つことが多い。Homologyも定義さ れ, 位相空間や多様体のホモロジーとよく似た性質を持つ。そのことについて, 幾何学的な視点からは, HamiltonとLazarevの [HL]は良く まとまっている。非可換幾何学への一 つのapproachとして書いてある。KontsevichとSoibelmanの [KS09]は, 実際, \(A_{\infty }\)-algebraをある種のvector fieldを持つformal graded manifoldとみなそうという試みである。

ホモトピー論的な視点からは, モデル圏の構造 も重要である。Hinich の [Hin97]では次の三つのレベルでモデル構造が考察されている。

  • あるoperad上のあるalgebra上のmoduleの圏
  • あるoperad上のalgebraの圏
  • operadの圏

これらは全て, chain complex (differential graded module) の話である。よ り一般的な symmetric monoidal model categoryでのoperadの圏についても, 「ある条件の下で」 モデル構造の存在 が知 られている。実は, Hinichの論文の主定理の一つである, chain complexの圏の operad の圏のモデル構造の存在も, 仮定の条件が緩すぎたようで, 反例が見付 かっている。その反例と修正された定理の内容が [Hin]にあ る。

Dolgushevと Hoffnungと Rogers [DHR] は, ある dg coaugmented cooperad \(\mathcal{C}\) の cobar construction 上の algebra のことを, type \(\mathcal{C}\) の homotopy algebra と呼んでいる。 その論文では [DR] で構成され た shifted \(L_{\infty }\)-algebra の symmetric monoidal category による enrichment より type \(\mathcal{C}\) の homotopy algebra の圏が \((\infty ,1)\)-category として構成されてい る。

  • type \(\mathcal{C}\) homotopy algebra の \((\infty ,1)\)-category

ホモトピーと言えばdeformationである。(厳密に)結合的だったり可換だったり する積のdeformationを考えるときに, operadを使うのは自然なアイデアである。

このような代数的構造は, 数理物理, 特に string theoryに現われるようで, 興味深い。 Classical closed string field theory が \(L_{\infty }\)-structureを持ち, open string field theoryが \(A_{\infty }\)-structureを持つことから, KajiuraとStasheffは, open-closed string field theoryに対応する構造とし てOCHA (open-closed homotopy algebra)を[KS06]で定義した。

  • OCHA

彼等は [KS08]というsurveyも書いている。Hoefelは [Hoeb]でOCHAをcoalgebraの coderivationを用いて表わそうと し ている。また[Hoea]ではVoronovのSwiss cheese operadとの関係を 調べている。

同じく数理物理からのアイデアであるが, 確率論の 拡張を homotopy algebraを用いて行なうことを考えているのは, Park らの [DPTa; DPTb] である。

  • homotopy probability theory

DGAのように, curved versionも考えられている。Nicolasの [Nic08]やLazarevとSchedlerの[LS]など。

References

[DHR]

Vasily A. Dolgushev, Alexander E. Hoffnung, and Christopher L. Rogers. What do homotopy algebras form? arXiv: 1406.1751.

[DPTa]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. Homotopy Probability Theory I. arXiv: 1302.3684.

[DPTb]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. Homotopy Probability Theory II. arXiv: 1302.5325.

[DR]

Vasily A. Dolgushev and Christopher L. Rogers. On an enhancement of the category of shifted \(L_{\infty }\)-algebras. arXiv: 1406.1744.

[Hin]

V. Hinich. Erratum to ”Homological algebra of homotopy algebras”. arXiv: math/0309453.

[Hin97]

Vladimir Hinich. “Homological algebra of homotopy algebras”. In: Comm. Algebra 25.10 (1997), pp. 3291–3323. arXiv: q-alg/9702015. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879708826055.

[HL]

Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. Homotopy algebras and noncommutative geometry. arXiv: math/0410621.

[HL09]

Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. “Cohomology theories for homotopy algebras and noncommutative geometry”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1503–1583. arXiv: 0707.3937. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.1503.

[Hoea]

Eduardo Hoefel. OCHA and the swiss-cheese operad. arXiv: 0710.3546.

[Hoeb]

Eduardo Hoefel. On the coalgebra description of OCHA. arXiv: math/0607435.

[Khu]

David Khudaverdyan. Higher Lie and Leibniz algebras. arXiv: 1501.01925.

[KS06]

Hiroshige Kajiura and Jim Stasheff. “Homotopy algebras inspired by classical open-closed string field theory”. In: Comm. Math. Phys. 263.3 (2006), pp. 553–581. arXiv: math/0410291. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-006-1539-2.

[KS08]

Hiroshige Kajiura and Jim Stasheff. “Homotopy algebras of open-closed strings”. In: Groups, homotopy and configuration spaces. Vol. 13. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2008, pp. 229–259. arXiv: hep-th/0606283. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2008.13.229.

[KS09]

M. Kontsevich and Y. Soibelman. “Notes on \(A_{\infty }\)-algebras, \(A_{\infty }\)-categories and non-commutative geometry”. In: Homological mirror symmetry. Vol. 757. Lecture Notes in Phys. Berlin: Springer, 2009, pp. 153–219. arXiv: math/0606241.

[LS]

Andrey Lazarev and Travis Schedler. Curved infinity-algebras and their characteristic classes. arXiv: 1009.6203.

[LV12]

Jean-Louis Loday and Bruno Vallette. Algebraic operads. Vol. 346. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Heidelberg: Springer, 2012, pp. xxiv+634. isbn: 978-3-642-30361-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-30362-3.

[Mil]

Micah Miller. Homotopy Algebra Structures on Twisted Tensor Products and String Topology Operations. arXiv: 1006.2781.

[Nic08]

Pedro Nicolás. “The bar derived category of a curved dg algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.12 (2008), pp. 2633–2659. arXiv: math/0702449. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.04.001.

[Val]

Bruno Vallette. Algebra+Homotopy=Operad. arXiv: 1202.3245.