ホモトピー代数

代数的トポロジーを勉強していると, 空間や連続写像に対する操作が代数的対 象に対する操作とよく似ていることに気づくだろう。 空間の局所化ホモ トピー極限, そして関手の微積分なども そうである。

このページでは, それらの「空間に対する代数的操作」やその一般論について まとめた。その意味で「ホモトピー代数」という言葉を使っている。

「ホモトピー代数 (homotopical algebra)」は, Quillenが closed model categoryの概念を導入した本 [Qui67]のタイトルであり, モデル圏の理論のことを指すことが多い。 しかし, 現在ではモデル圏の他にも, \((\infty ,1)\)-categoryなどホモトピー論 を行なう枠組みが色々発見されている。それらもまとめて, 「ホモトピー代数」 という言葉を使うことにする。

Quillenの意味のホモトピー代数はホモロジー代数も含むものなので, ここには ホモロジー代数に関することも入れた。

代数的 (ホモロジー代数的) な概念のホモトピー論的な類似も色々考えられて いる。

逆に, 安定ホモトピー論登場した概念で, triangulated categoryに一般化され, 広く使われるようになったものもある。Brownの表現定理, Bousfield局所化な どである。

安定ホモトピー圏は, その元になるspectrumの成すモデル圏があるので, そこ で様々な構成ができる。Derived categoryもその元になるchain complexの圏が ある。ホモトピー代数を行なう際には, このようなより具体的な圏で議論でき るとうれしい。Triangulated categoryについては, そのようなものを enhancementという。

Quillenがモデル圏の概念を考えた動機の一つは, Abelian categoryでない圏で ホモロジー代数の類似を行ないたいということだった。

References

[Qui67]

Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics, No. 43. Berlin: Springer-Verlag, 1967, iv 156 pp. (not consecutively paged).