多様体やそれに類するものの(コ)ホモロジー

Poincaré [Poi96] は, 多様体を, そこに含まれる部分多様体により調べるというアイデアを実現するものとして, ホモロジー群を定義した。 今でも多様体や orbifold などの構造を用いて新しい(コ)ホモロジーが定義されている。

• 多様体の構造を用いて定義された(コ)ホモロジーの例
• 多様体の(コ)ホモロジーの性質
• 多様体の(コ)ホモロジーの計算例
• orbifold の(コ)ホモロジー
• differential cohomology
• 代数多様体や scheme のコホモロジー
• 特性類

Poincaré の動機から, どのようなホモロジー類が多様体で実現できるか, を考えたくなるが, これは Steenrod の問題として有名なものである。 Eilenberg のリスト [Eil49] に Problem 25 として収録されている。

• Steenrod problem

この問題については, Thom [Tho54] の結果が有名である。Thom は実現不可能な例も構成したが, どんな整係数ホモロジー類も, 適当に自然数倍すれば実現可能であることも示している。 最近でも, Rozhdestvenskii [Roz] などの仕事がある。

References

[Eil49]

Samuel Eilenberg. “On the problems of topology”. In: Ann. of Math. (2) 50 (1949), pp. 247–260. url: https://doi.org/10.2307/1969448.

[Poi96]

Henri Poincaré. Œuvres. Tome VI. Les Grands Classiques Gauthier-Villars. [Gauthier-Villars Great Classics]. Géométrie. Analysis situs (topologie). [Geometry. Analysis situs (topology)], Reprint of the 1953 edition. Sceaux: Éditions Jacques Gabay, 1996, pp. v+541. isbn: 2-87647-176-0.

[Roz]

Vasilii Rozhdestvenskii. A lower bound in the problem of realization of cycles. arXiv: 2303.10240.

[Tho54]

René Thom. “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”. In: Comment. Math. Helv. 28 (1954), pp. 17–86. url: https://doi.org/10.1007/BF02566923.