Equivariant Rational Stable Homotopy Theory

安定ホモトピー論は, rational に考えると, 本質的には graded \(\Q \)-vector space を調べることと同じになってしまう。例えば, Atiyah-Hirzebruch spectral sequence は \(\otimes \Q \) すると, \(E^2\)-term で collapse してしまい, generalized (co)homology theory は rational には graded \(\Q \)-vector space を係数に持つ ordinary (co)homology theory しかないことが分かる。 更に, 有限群の作用を考えても同様のことが成り立つ。 つまり \(G\) が有限群のとき rational \(G\)-spectrum は equivariant Eilenberg-Mac Lane spectrum の 積に分解する。この事実は Greenlees と May の [GM95] の Apppendix に書かれている。

しかしながら, Lie群の作用を考えると, rational にしても, 状況はかなり複雑なようである。 Equivariant stable homotopy theory を最初に \(\Q \) 上で考えようと思いついたのは誰なのだろうか。 少なくとも, 最も精力的に研究しているのは Greenlees だろう。

彼は, [Gre08] の Introduction で書いているように, compact Lie 群 \(G\)上 のrational \(G\)-equivariant spectrum の圏は, ある種の層のなす Abelian categoryderived category と Quillen 同値であると予想している。いくつかの群の場合には証明されているが, 何が分かっているかについては, Greenlees の [Grea] の§1.Bを見るとよい。

\(G\)-equivariant spectrum の category と chain complex のホモロジー代数の比較は, Kaledin も行なっている。Kaledin の [Kal11; Kal13] は, equivariant stable homotopy theory における構成を chain complex のホモロジー代数に輸入しようという試みのようである。

Greenlees は, 特に, \(G\) が torus の場合を詳しく調べている。まず, [Gre08] で torus equivariant rational stable homotopy category 上のホモロジーの受け皿となるべき Abelian category を構成し, Shipley と共に [GS], それを用いた torus equivariant rational stable homotopy category の代数的なモデルを考えている。 そのモデルにはいくつかのものが構成されているが, [Greb]では, それらの比較が行なわれている。

Greenlees は [Grec] で compact Lie 群 \(G\) に対し, rational \(G\)-equivariant stable homotopy category の, Balmer の意味での spectrum を調べている。

References

[GM95]

J. P. C. Greenlees and J. P. May. “Equivariant stable homotopy theory”. In: Handbook of algebraic topology. North-Holland, Amsterdam, 1995, pp. 277–323. url: https://doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50009-2.

[Grea]

J. P. C. Greenlees. Rational equivariant cohomology theories with toral support. arXiv: 1501.03425.

[Greb]

J. P. C. Greenlees. Rational torus-equivariant stable homotopy III: comparison of models. arXiv: 1410.5464.

[Grec]

J. P. C. Greenlees. The Balmer spectrum of rational equivariant cohomology theories. arXiv: 1706.07868.

[Gre08]

J. P. C. Greenlees. “Rational torus-equivariant stable homotopy. I. Calculating groups of stable maps”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.1 (2008), pp. 72–98. arXiv: 0705.2686. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.05.010.

[GS]

J. P. C. Greenlees and B. Shipley. An algebraic model for rational torus-equivariant spectra. arXiv: 1101.2511.

[Kal11]

D. Kaledin. “Derived Mackey functors”. In: Mosc. Math. J. 11.4 (2011), pp. 723–803, 822. arXiv: 0812.2519.

[Kal13]

D. B. Kaledin. “Cyclotomic complexes”. In: Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 77.5 (2013), pp. 3–70. arXiv: 1003.2810.