Examples of Enriched Categories

Street の [Str05] の前書きでは, 初期の category theory では, 通常の category と additive category が平行して研究され, 更に additive category の研究の方が優勢だったようである。Additive category とは Abel群 の圏で enrich された category で \(0\) object を持ち, 直和で閉じているもののことなので, enriched category は category theory の初期の段階から考えられていたことになる。 より一般に加群の圏で enrich されたものは linear category と呼ばれることが多い。

• preadditive category
• additive category
• 可換環 \(k\) 上の linear category

\(\Z /2\Z \)-graded vector space の圏で enrich されている圏は Comes と Kujawa の [BCK19] では supercategory と呼ばれている。 Kang, Kashiwara, Oh の [KKO14] では \(1\)-supercategory と呼ばれているが, それは Kang, Kashiwara, Tsuchioka の [KKT16] で, involution を持つ category という意味の supercategory が定義されているからである。

後者は involutive category と呼ぶ人もいるが, その方が良いかもしれない。 前者も superlinear category と呼んだ方が良いと思うが。

Commutative monoid で enrich されている圏は, semi-additive と呼ばれることがある。 Baues と Pirashvili [BP] は, groupoid で enrich された圏を, track category と呼んでいる。

• semi-additive category
• track category

\(k\)- linear category は, “\(k\)-algebra with several objects” とみなすことが できるが, その拡張として“differential graded algebra with several objects” というべき概念もある。DG category (differential graded category) という名前が付いている。最近では, spectrum で enrich された圏で考えることも多い。

• dg category
• spectral category

Enriched category は, higher category の定義に使われることもある。ただし strict なものだけであるが。

• strict \(n\)-category
• Gray-category

Enriched category の変な例としては, Lawvere [Law73] によるものがある。\(\infty \) を含む非負の実数 \([0,\infty ]\) を普通の順序で poset, つまり small category とみなすと, 実数の和により symmetric monoidal category になる。 距離空間は, この圏で enrich された small category であるというのが, Lawvere の発見である。

• metric space as enriched category

ホモトピー論, 特に, model category を調べる際には, simplicial set で enrich された圏を考えると便利なことが多い。より一般に, monoidal model category で enrich された model category を考えることもできる。

• simplicial category
• enriched model category

References

[BCK19]

Jonathan Brundan, Jonathan Comes, and Jonathan Robert Kujawa. “A basis theorem for the degenerate affine oriented Brauer-Clifford supercategory”. In: Canad. J. Math. 71.5 (2019), pp. 1061–1101. arXiv: 1706.09999. url: https://doi.org/10.4153/cjm-2018-030-8.

[BP]

Hans-Joachim Baues and Teimuraz Pirashvili. Shukla cohomology and additive track theories. arXiv: math/0401158.

[KKO14]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Se-jin Oh. “Supercategorification of quantum Kac-Moody algebras II”. In: Adv. Math. 265 (2014), pp. 169–240. arXiv: 1303.1916. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.07.036.

[KKT16]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Shunsuke Tsuchioka. “Quiver Hecke superalgebras”. In: J. Reine Angew. Math. 711 (2016), pp. 1–54. arXiv: 1107.1039. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0089.

[Law73]

F. William Lawvere. “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974).

[Str05]

Ross Street. “Enriched categories and cohomology”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 14 (2005). Reprinted from Quaestiones Math. 6 (1983), no. 1-3, 265–283 [MR0700252], with new commentary by the author, pp. 1–18.