Abstract Chiral Polytopes

Abstract chiral polytope というのは, automorphism gorup の flag の集合への作用が丁度2つ orbit を持ち, 隣接する flag が異なる orbit に属する abstract polytope である。 Schulte と Weiss の [SW91] がある。 定義されたのも, この論文のようである。

具体的な abstract chiral polytope を構成するのはかなり難しく, 任意の \(n\) に対し rank \(n\) の abstract chiral polytope が存在することを示されたのはつい最近で, Pellicer [Pel10] による。

McMullen は, [McM04] の Theorem 11.2 で, rank \(n\) の abstract chiral polytope は \(\R ^{n}\) に実現できないと主張しているが, 残念ながらそれを間違いだった。Bracho, Hubard, Pellicer の [BHP14] で rank \(4\) の abstract chiral polytope で \(\R ^{4}\) に実現できるものが構成されている。Monson [Mon22] は Roli’s cube と呼んでいる。

• Roli’s cube

より一般に, automorphism group の flag の集合への作用が丁度 \(k\) 個 orbit を持つものを \(k\)-orbit polytope と呼ぶ。

• \(k\)-orbit polytope

Cunningham と Pellicer の [CP18] に \(k\)-orbit polytope に関する問題が集められている。

References

[BHP14]

Javier Bracho, Isabel Hubard, and Daniel Pellicer. “A finite chiral 4-polytope in \(\R ^4\)”. In: Discrete Comput. Geom. 52.4 (2014), pp. 799–805. arXiv: 1311.1558. url: https://doi.org/10.1007/s00454-014-9631-4.

[CP18]

Gabe Cunningham and Daniel Pellicer. “Open problems on \(k\)-orbit polytopes”. In: Discrete Math. 341.6 (2018), pp. 1645–1661. arXiv: 1608.07993. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2018.03.004.

[McM04]

Peter McMullen. “Regular polytopes of full rank”. In: Discrete Comput. Geom. 32.1 (2004), pp. 1–35. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-004-0848-5.

[Mon22]

Barry Monson. “On Roli’s cube”. In: Art Discrete Appl. Math. 5.3 (2022), Paper No. 3.10, 17. arXiv: 2102.08796. url: https://doi.org/10.26493/2590-9770.1411.6ee.

[Pel10]

Daniel Pellicer. “A construction of higher rank chiral polytopes”. In: Discrete Math. 310.6-7 (2010), pp. 1222–1237. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2009.11.034.

[SW91]

Egon Schulte and Asia Ivić Weiss. “Chiral polytopes”. In: Applied geometry and discrete mathematics. Vol. 4. DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, pp. 493–516. url: https://doi.org/10.1090/dimacs/004/39.