Waldhausen は, algebraic \(K\)-theory of spaces [Wal85] を定義するために “category with
cofibrations” や “category with weak equivalences”, そして “category with cofibrations
and weak equivalences” といった概念を導入した。 最後のものは, ちょっと名前が長すぎるので, 最近では Waldhausen
category と呼ばれるのが普通である。
- category with cofibrations
- category with cofibrations and weak equivalences
Waldhausen の原論文以外では, Weibel の本 [Wei13] や Dundas, Goodwillie, McCarthy の本
[DGM13] がある。
Waldhausen category の代表的な例は exact category である。そして, Quillen が exact
category の algebraic \(K\)-theory を定義するために用いた \(Q\)-construction に対応する \(S\)-construction
がある。
- Waldhausen’s \(S\)-construction
Waldhausen が “category with cofibrations and weak equivalences”
と呼んでいることからも分かるように, Waldhausen category は, model category の \(\frac {2}{3}\) の構造を持つものである。例えば,
Abelian category 上に model structure があると, その compact cofibrant object の成す
subcategory を取ることにより Waldhausen category を作り, algebraic \(K\)-theory を定義する,
ということができる。 しかし, Waldhausen category の定義には fibration は不要なので, model structure
を定義するのは, ちょっと無駄なことをしている気がする。
Hovey の理論 [Hov02] により, Abelian category 上の model structure を定義するときには,
cotorsion pair の組を構成するのが楽であるが, cotorsion pair から直接 Waldhausen category
の構造を定義できると手間が省ける。 実際それは, Sarazola [Sar20] により行なわれている。
- Waldhausen category from cotorsion pair
一般化も色々考えられている。まず Thomason とTrobaugh [TT90] が derived category の algebraic
\(K\)-theory を考えるときに導入した biWaldhausen category がある。
Waldhausen category の \((\infty ,1)\)-version として, Waldhausen \(\infty \)-category とか Waldhausen
quasicategory とかいう構造も考えられるようになった。 Barwick の [Bar16], Fiore と Lück の [FP19], そして
Fiore の [Fio] など。
- Waldhansen \(\infty \)-category
Barwick のものも Fiore と Lück のものも, weak equivalence に関する情報は quasicategory に含まれると考え,
cofibration に関する情報を subcategory として指定することで定義している。 当然それらが同値なのかが気になるが, 実際 Fiore
と Lück の論文の Proposition 4.3 で同値であることが示されている。
Campbell, Lind, Malkiewich, Ponto, Zakharevich [Cam+] の spectral 版もある。
- spectral Waldhausen category
References
-
[Bar16]
-
Clark Barwick. “On the algebraic \(K\)-theory of higher categories”.
In: J. Topol. 9.1 (2016), pp. 245–347. arXiv: 1204.3607. url:
https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv042.
-
[Cam+]
-
Jonathan A. Campbell, John A. Lind, Cary Malkiewich, Kate
Ponto, and Inna Zakharevich. Spectral Waldhausen categories, the
\(S_\bullet \)-construction, and the Dennis trace. arXiv: 2006.04006.
-
[DGM13]
-
Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy.
The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra
and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013,
pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.
-
[Fio]
-
Thomas M. Fiore. Approximation in \(K\)-theory for Waldhausen
Quasicategories. arXiv: 1303.4029.
-
[FP19]
-
Thomas M. Fiore and Malte
Pieper. “Waldhausen additivity: classical and quasicategorical”. In:
J. Homotopy Relat. Struct. 14.1 (2019), pp. 109–197. arXiv: 1207.
6613. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0206-6.
-
[Hov02]
-
Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and
representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.
-
[Sar20]
-
Maru Sarazola.
“Cotorsion pairs and a K-theory localization theorem”. In: J. Pure
Appl. Algebra 224.11 (2020), pp. 106399, 29. arXiv: 1911.00613.
url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2020.106399.
-
[TT90]
-
R. W. Thomason and Thomas Trobaugh. “Higher algebraic \(K\)-theory
of schemes and of derived
categories”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. III. Vol. 88.
Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1990, pp. 247–435.
url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4576-2_10.
-
[Wal85]
-
Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Algebraic
and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983). Vol. 1126.
Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1985, pp. 318–419. url:
http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074449.
-
[Wei13]
-
Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in
Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence,
RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn:
978-0-8218-9132-2.
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