Topological Hochschild Homology

誤解を恐れずに言えば, Hochschild homology の構成で associative ring を associative ring spectrum に変えて得られる spectrum が topological Hochschild homologyである。 どの論文で最初に定義されたのかはっきりしないが, topological Hochschild homology が発見された経緯については, Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] の Chapter IV の冒頭に詳しく書かれている。

一般には, 1990年代初頭 (1980年代後半?) に Bökstedt により考えられたということになっているが, Basterra と Mandell の [BM11] に書かれているように, 元々は Waldhausen によりその存在が予想されていたようである。 Dundas と Goodwillie と McCarthy の本では, 文献として Waldhausen の [Wal79] が参照されている。 そして, その Waldhausen の論文を見ると, 元になったのは K. Dennis の 1976年1月の Evanston での講演のようである。 ただ, Dundas と Goodwillie と McCarthy の本によると, Goodwillie は algebraic \(K\)-theoryHochschild homology の間に “topological Hochschild homology” と呼ぶべきものが存在すると予想していたらしい。 その予想に合うものを定義したのが Bökstedt だったようである。

解説としては, その Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] が詳しい。 より短かい解説としては, May のlecture note がある。 Richter の commutative ring spectrum の解説 [Ric] の §6 にも簡単な解説がある。 Krause と Nikolaus の lecture note や Kaledin の monograph [Kal] もある。 最近の話題については, Mathew の overview [Mat22] を見るとよい。

現代的には, symmetric monoidal category になっている spectrum の category で cyclic bar construction で定義するのが普通, だと思う。

  • cyclic nerve
  • cyclic bar construction

他にも, Angeltveit [Ang08] による associahedra を用いた topological Hochschild (co)homology の構成もある。 また, Nikolaus と Scholz [NS18] による構成もある。

単に topological Hochschild homology が必要なだけなら, このような構成は必要ない。 このような構成が提案されているのは, topological Hochschild homology が topological cyclic homology の元になっているからである。 topological cyclic homology を定義するために必要な構造を持つように, 定義されているのである。

Angeltveit と Rognes は [AR05] で topological Hochschild homology の Hopf algebra structure について議論している。Gorenstein性については Greenlees の [Gre16] で調べられている。

この Greenlees の論文の §5 には, ring spectrum の morphism \(R\to k\) により \(k\) を \(R\)-bimodule とみたときの \(R\) の \(k\) 係数 topological Hochschild homology の計算例がまとめられている。

もっとも, spectrum は位相空間を元に定義された概念なので, 位相空間に付随する ring spectrum もいろいろある。例えば, 有限CW複体 \(X\) の Spanier-Whitehead dual \(D(X)\) については, Malkiewich [Mal17] がその topological Hochschild homology を調べている。

Connective complex \(K\)-theory を素数 \(p\) でlocalize したときの Adams summand の場合, McClure と Staffeldt [MS93] により決定されている。彼等は periodic な Adams summand の場合も決定している。

Adams summand ではない, connective complex \(K\)-theory spectrum については, Ausoni が [Aus05] で調べているが, mod \((p,v_{1})\) での homotopy 群を決定しただけである。

Periodic complex \(K\)-theory spectrum については, Stonek [Sto20] が調べている。

Ring spectrum の many-objectification である spectral category への拡張は, Dundas と McCarthy [DM96] により得られた。Blumberg と Mandell の [BM12] も見るとよい。

  • spectral category の topological Hochschild homology

Brun と Carlsson と Dundas [BCD10] によると, ring spectrum \(A\) が commutative な場合, topological Hochschild homology は functor \[ \Lambda (A) : \category {Top} \longrightarrow \category {Spectra} \] に拡張され, \(S^1\)の場合が topological Hochschild homology になる \[ \Lambda _{S^1}(A) \simeq \mathrm {THH}(A) \] らしい。その元になっているのは, commutative algebra の Hochschild complex の場合の Loday の結果 [Lod89] に基づいた, 所謂 higher order Hochschild complex であるが。Ring spectrum の場合に構成したのは, Brun と Carlsson と Dundas [BCD10] のようである。 そして, \(S^n\) を入れた場合のものを higher topological Hochschild homology という。Schlichtkrull [Sch11] が Thom spectrum の場合を調べている。

McClure と Schwänzl と Vogt [MSV97] による \(\mathrm {THH}(A)\simeq A\otimes S^1\) という記述もある。

Brun と Fiedorowicz と Vogt は [BFV07] で \(E_n\)-ring spectrum の topological Hochschild homology が \(E_{n-1}\)-ring spectrum の構造を持つことを示している。よって, \(E_n\)-ring spectrum に対しては, topological Hochschild homology を\(n\)回繰り返して適用することができる。ただし, Brun と Fiedorowicz と Vogt の方法では, topological Hochschild homology を繰り返すためには, そのつど同値な spectrum で取り替えないといけないが, Basterra と Mandell [BM11] はその操作を不要にする構成を考えている。

Topological Hochschild homology と Thom spectrum との関係が, Blumberg と Ralph Cohen と Schilichtkrull [BCS10] により調べられている。その応用として, \(\mathrm {ko}\) や \(\mathrm {ku}\) が Thom spectrum ではないことを証明したのが Angeltveit と Hill と Lawson の [AHL09] である。また Basu [Bas17] は, Ando らの一般化された Thom spectrum [And+] の topological Hochschild homology が Thom spectrum として表されることを示している。

Blumberg と Mandell [BM20] は, topological Hochschild homology を simplicial Waldhausen category に拡張している。その目的は, algebraic \(K\)-theory の持つ localization などの性質と topological Hochschild homology の性質を比較するためである。彼らは, quasicategory を algebraic \(K\)-theory と topological Hochschild homology の共通の input として使うことも考えているようである。

この algebraic \(K\)-theory と (topological) Hochschild homology の関係は, algebraic \(K\)-theory から topological Hochschild homology への, 所謂, trace map により与えられる。これは topological cyclic homology を factor し, それにより algebraic \(K\)-theory のことがよく分かるようである。 そして, topological cyclic homology の構成のためには, topological Hochschild homology 上に cyclotomic structure という構造が必要になる。

この辺のことについては, Angeltveit らの [Ang+18]の Introduction に詳しく書かれている。また, これらに関することをまとめた本が Dundasと Goodwillieと McCarthyの [DGM13]である。

最近の話題についての overview である Mathew の [Mat22] の主題は, Bhatt, Morrow, Scholze [BMS19] による motivic filtration である。

  • motivic filtration

一般化としては, Rognesら [Rog09; RSSa] の logarithmic topological Hochschild homology もある。

  • logarithmic topological Hochschild homology

Kato の logarithmic geometry [Kat89] とホモトピー論を関係付けようというものらしい。 Pre-log ring spectrum という commutative symmetric spectrum に情報を付加したものに対して定義される。 Sagave と Schlichtkrull の [RSSb] では, topological \(K\)-theory spectrum の場合が調べられている。

“Real”版については, Hesselholt と Madsen の “real algebraic \(K\)-theory” に書いてある。 この ページから downloadできる。 Anti-involution を持つ環や ring spectrum \(R\) から, \(O(2)\)-equivariant spectrum \(\mathrm {THR}(R)\) を作る構成である。 包含 \(S^{1}=\mathrm {SO}(2)\subset O(2)\) により得られる \(S^{1}\)-spectrum が \(\mathrm {THH}(R)\) になる。

  • real topological Hochschild homology

定義は, Dotto の thesis [Dot]や Høgenhaven の論文 [Høgb; Høga] にも書かれている。 Dotto ら [Dot+21] は, より近代的な構成を与えている。 そこでは, \(\mathrm {THR}(\F _{p})\) や \(\mathrm {THR}(\Z )[\frac {1}{2}]\) が決定されている。

Hochschild homology の定義で, algebra を coalgebra に変え, bar construction を cobar construction に変えたものとして, Cartier homology あるいは coHochschild homology と呼ばれるものがある。 その topological version もある。Bohmann ら [Boh+] によると, Hess と Shipley により導入されたらしい。その論文は, [HS21] のようである。

  • topological coHochschild homology

Bayındır と Péroux [BP] はその構成を \((\infty ,1)\)-category に一般化している。

References

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