Poisson algebra

Commutative algebra が Leibniz rule (積 の微分の公式) をみたすような Lie algebra の構造を持つとき, Poisson algebra という。

その起源は, Pichereau の[Pic06] によると, 1809年の D. Poisson の仕事である。Poisson が考えたのは, 偶数次元 Euclid空間 \(\R ^{2n}\) 上の smooth function の成す環の上の Lie bracket (Poisson bracket) である。より一般 にsymplectic多様体の関数環も Poisson algebra の構造を持つ。更にある種の topological groupoid への一般化を考えているのが, Tang の [Tan06] である。

その上の関数環が Poisson algebra の構造を持つ多様体を Poisson manifold という。Poisson manifold の deformation quantization は, その関数環である Poisson algebra の deformation quantization として定義される。

• Poisson manifold
• deformation quantization

Poisson algebra の cohomology は, Lichnerowicz の [Lic77] で定義された。Pichereau の [Pic06] では, 代数的な扱いについては Huebschmann の [Hue90] を見るように書いてある。

非可換幾何学の視点からは, Poisson algebra の非可換版が必要になるが, Tang の [Tan06] によると, noncommutative Poisson algebra を Hochschild cohomology を用いて定義することは, Block と Getzler [BG92] と Ping Xu [Xu94] により独立に発見されたらしい。

• noncommutative Poisson algebra

Flato と Gerstenhaber と Voronov [FGV95] は, Xu の Hochschild cohomology class を用いた定義を, Hochschild cochain を用いた定義に改良している。一般には, Poisson structure を表わすcochain は cocycle にはならないようである。

Yang, Yao, Ye [YYY] は, noncommutative Poisson algebra の enveloping algebra を定義している。

他の代数的構造の上の Poisson structure も様々な場面に登場する。例えば, Poisson Hopf algebra については, Agore の [1404.0170] を見るとよい。

• Poisson Hopf algebra

References

[BG92]

Jonathan Block and Ezra Getzler. “Quantization of foliations”. In: Proceedings of the XXth International Conference on Differential Geometric Methods in Theoretical Physics, Vol. 1, 2 (New York, 1991). World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1992, pp. 471–487.

[FGV95]

M. Flato, M. Gerstenhaber, and A. A. Voronov. “Cohomology and deformation of Leibniz pairs”. In: Lett. Math. Phys. 34.1 (1995), pp. 77–90. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00739377.

[Hue90]

Johannes Huebschmann. “Poisson cohomology and quantization”. In: J. Reine Angew. Math. 408 (1990), pp. 57–113. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1990.408.57.

[Lic77]

André Lichnerowicz. “Les variétés de Poisson et leurs algèbres de Lie associées”. In: J. Differential Geometry 12.2 (1977), pp. 253–300. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214433987.

[Pic06]

Anne Pichereau. “Poisson (co)homology and isolated singularities”. In: J. Algebra 299.2 (2006), pp. 747–777. arXiv: math/0511201. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2005.10.029.

[Tan06]

Xiang Tang. “Deformation quantization of pseudo-symplectic (Poisson) groupoids”. In: Geom. Funct. Anal. 16.3 (2006), pp. 731–766. arXiv: math/0405378.

[Xu94]

Ping Xu. “Noncommutative Poisson algebras”. In: Amer. J. Math. 116.1 (1994), pp. 101–125. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374983.

[YYY]

Yan-Hong Yang, Yuan Yao, and Yu Ye. (Quasi-)Poisson enveloping algebras. arXiv: 1011.5411.