L∞-algebra

\(L_{\infty }\)-algebra は, Stasheff により導入された Lie algebra の “sh (strong homotopy) 版” である。 論文としては, Lada と Stasheff の [LS93] がある。 Lada と Markl [LM95] によると, それより前に, Schlessinger と Stasheff の [SS85] に登場しているらしい。 Schlessinger と Stasheff の仕事は, dg algebradeformation に関することであるが, それとは独立に, string field theory にも現われた [WZ92; Zwi93] ようである。 また, Stasheff [Sta] によると, Schlessinger と Stasheff が考えていたのと同じ頃に, Drinfel\('\)d と Schechtman の手紙のやりとりの中でも登場しているらしい。

様々な応用があるが, ホモトピー論的 (rational homotopy的) には, mapping space のモデルを構成するのに使われている。例えば, Berglundの [Ber], Buijs と Gutiérrez の [BG] などがある。Lazarev [Laz] は, rational homotopy thoery での fibration の classifying space を構成するのに使っている。

Callies と Frégier と Rogers と Zambon [Cal+] は, symplectic geometry の moment map を高次の symplectic 多様体に拡張するのに使っている。Frégier と Zambon [FZ] は, 2つの構造を同時に deformation するときにも \(L_{\infty }\)-structure が使えると言っている。

Jae-Suk Park と Jeehoon Park [PP] は, smooth projective hypersurface 上の微分形式 の Griffiths period integral [Gri69] に隠された \(L_{\infty }\)-algebra の構造を見付けたと言っている。 Jae-Suk Park の仕事では, homotopy probability [DPT15a; DPT15b] にも登場する。

当然 dg Lie algebra に関する概念を \(L_{\infty }\)-algebra に一般化することも考えられている。 例えば, universal enveloping algebra については, 既に Lada と Markl の [LM95] で考えられている。より新しいものとしては, Baranovsky の [Bar08] や Moreno-Fernández の [Mor22] がある。当然 \(A_{\infty }\)-algebra として構成されている。

  • universal enveloping algebra of \(L_{\infty }\)-algebra

拡張としては, \(L_{\infty }\)-algebroid [Bru11] や Leibniz algebra の strong homotopy 版などがある。Sheng と Liu [SL13] によると, Ammar と Poncin の [AP10] で導入されたようである。 彼等は, Uchino の [Uch11] も見るように書いている。

  • \(L_{\infty }\)-algebroid
  • strong homotopy Leibniz algebra

References

[AP10]

Mourad Ammar and Norbert Poncin. “Coalgebraic approach to the Loday infinity category, stem differential for \(2n\)-ary graded and homotopy algebras”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 60.1 (2010), pp. 355–387. arXiv: 0809.4328. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2010__60_1_355_0.

[Bar08]

Vladimir Baranovsky. “A universal enveloping for \(L_\infty \)-algebras”. In: Math. Res. Lett. 15 (2008), pp. 1073–1089. arXiv: 0706.1396. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2008.v15.n6.a1.

[Ber]

Alexander Berglund. Rational homotopy theory of mapping spaces via Lie theory for \(L_{\infty }\) algebras. arXiv: 1110.6145.

[BG]

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[Bru11]

Andrew James Bruce. “From \(L_\infty \)-algebroids to higher Schouten/Poisson structures”. In: Rep. Math. Phys. 67.2 (2011), pp. 157–177. arXiv: 1007.1389. url: https://doi.org/10.1016/S0034-4877(11)00010-3.

[Cal+]

Martin Callies, Yael Fregier, Christopher L. Rogers, and Marco Zambon. Homotopy moment maps. arXiv: 1304.2051.

[DPT15a]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory I”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 425–435. arXiv: 1302 . 3684. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0067-y.

[DPT15b]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory II”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 623–635. arXiv: 1302 . 5325. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0078-3.

[FZ]

Yael Frégier and Marco Zambon. Simultaneous deformations and Poisson geometry. arXiv: 1202.2896.

[Gri69]

Phillip A. Griffiths. “On the periods of certain rational integrals. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), 460-495; ibid. (2) 90 (1969), pp. 496–541.

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Andrey Lazarev. Models for classifying spaces and derived deformation theory. arXiv: 1209.3866.

[LM95]

Tom Lada and Martin Markl. “Strongly homotopy Lie algebras”. In: Comm. Algebra 23.6 (1995), pp. 2147–2161. arXiv: hep-th/9406095. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879508825335.

[LS93]

Tom Lada and Jim Stasheff. “Introduction to SH Lie algebras for physicists”. In: Internat. J. Theoret. Phys. 32.7 (1993), pp. 1087–1103. arXiv: hep-th/9209099. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00671791.

[Mor22]

José Manuel Moreno Fernández. “The Milnor-Moore theorem for \(L_\infty \) algebras in rational homotopy theory”. In: Math. Z. 300 (2022), pp. 2147–2165. arXiv: 1904.12530. url: https://doi.org/10.1007/s00209-021-02838-z.

[PP]

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[SL13]

Yunhe Sheng and Zhangju Liu. “Leibniz 2-algebras and twisted Courant algebroids”. In: Comm. Algebra 41.5 (2013), pp. 1929–1953. arXiv: 1012.5515. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2011.608201.

[SS85]

Michael Schlessinger and James Stasheff. “The Lie algebra structure of tangent cohomology and deformation theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 38.2-3 (1985), pp. 313–322. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(85)90019-2.

[Sta]

Jim Stasheff. How Dennis realized he had ‘invented’ \(L_\infty \)-algebras a.k.a. strongly homotopy Lie algebras. arXiv: 1609.08401.

[Uch11]

K. Uchino. “Derived brackets and sh Leibniz algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1102–1111. arXiv: 0902.0044. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.016.

[WZ92]

Edward Witten and Barton Zwiebach. “Algebraic structures and differential geometry in two-dimensional string theory”. In: Nuclear Phys. B 377.1-2 (1992), pp. 55–112. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(92)90018-7.

[Zwi93]

Barton Zwiebach. “Closed string field theory: quantum action and the Batalin-Vilkovisky master equation”. In: Nuclear Phys. B 390.1 (1993), pp. 33–152. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(93)90388-6.