Khovanov Homotopy Type

Khovanov homology は, Jones polynomialcategorify するものであるが, その定義 (構成) は chain complex を用いたもので, 代数的トポロジーの視点からは, とても古臭く感じる。

代数的トポロジーにおけるホモロジーは, 公理で規定されるものであり, より具体的には spectrum を用いて表される。 そのような視点からは, Lipshitz と Sarkar の構成 [LS14] が「正しい」ものに思える。彼等は, そのホモロジーが Khovanov homology に同型になる spectrum を構成した。

一方, Everitt と Turner [ET14] は, その ホモトピー群が Khovanov homology と同型になる \(\Omega \)-spectrum を構成した。 Dold-Thomの定理から, Lipshitz と Sarkar の構成の無限対称積が Everitt と Turner の構成とホモトピー同値になりそうであるが, 実際 Everitt と Lipshitz と Sarkar と Turner は, [Eve+] で, Everitt-Turner の構成が Eilenberg-Mac Lane space の直積であり, それが Lipshitz と Sarkar の構成の無限対称積とホモトピー同値であることを示している。

よって, Lipshitz と Sarkar の構成の方が基本的であり, それを link の Khovanov (stable) homotopy type と呼ぶようである。

Khovanov homotopy type の構成には, 他にも Hu, Kriz, Kriz のもの [HKK] や, Lawson, Lipshitz, Sarkarの [LLSa] がある。 Lawson らは, これらの構成は全て stable homotopy equivalent であることを示している。 また [LLSc] では, ある combinatorial link invariant から Khovanov homotopy type を構成する方法が得られている。

これらについての解説として, Lipshitz と Sarkar の [LS] がある。

Khovanov は, [Kho02]で Khovanov homology を tangle に拡張したが, それに対応する stable homotopy type が Lawson, Lipshitz, Sarkar [LLSb] により構成されている。

References

[ET14]

Brent Everitt and Paul Turner. “The homotopy theory of Khovanov homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.5 (2014), pp. 2747–2781. arXiv: 1112.3460. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2014.14.2747.

[Eve+]

Brent Everitt, Robert Lipshitz, Sucharit Sarkar, and Paul Turner. Khovanov homotopy types and the Dold-Thom functor. arXiv: 1202.1856.

[HKK]

Po Hu, Daniel Kriz, and Igor Kriz. Field theories, stable homotopy theory and Khovanov homology. arXiv: 1203.4773.

[Kho02]

Mikhail Khovanov. “A functor-valued invariant of tangles”. In: Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), 665–741 (electronic). arXiv: math/0103190. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.665.

[LLSa]

Tyler Lawson, Robert Lipshitz, and Sucharit Sarkar. Khovanov homotopy type, Burnside category, and products. arXiv: 1505.00213.

[LLSb]

Tyler Lawson, Robert Lipshitz, and Sucharit Sarkar. Khovanov spectra for tangles. arXiv: 1706.02346.

[LLSc]

Tyler Lawson, Robert Lipshitz, and Sucharit Sarkar. The cube and the Burnside category. arXiv: 1505.00512.

[LS]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. Spatial refinements and Khovanov homology. arXiv: 1709.03602.

[LS14]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “A Khovanov stable homotopy type”. In: J. Amer. Math. Soc. 27.4 (2014), pp. 983–1042. arXiv: 1112.3932. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2014-00785-2.