Grothendieck Topology

誤解を恐れずに言うと, Grothendieck topology は, 有限体上の scheme を 位相空間 ( 可微分多様体) のように扱うために考えられたものである。 Zariski topology では開集合が少なすぎるため, 特定の写像 (例えばétale morphism) を開集合として扱うことにより開集合を増やすと, 扱いやすくなる。 そこで開集合の成す poset の代わりに, より一般の small category 上の “topology” を考えたのである。

nLab のページによると, original text は Artin の seminar notes [Art62] のようである。普通参照されるのは, SGA だと思うが。

手っ取り早く学ぶのなら, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] か Kashiwara と Schapira の本 [KS06] が良いのではないだろうか。 Vistoli の [Vis05] もある。 いくつかの approach があり, Kashiwara と Schapira の本では次の3つが紹介されている。

• sieve
• covering
• local epimorphism

ここでいう covering とは open covering の一般化の意味である。 Pretopology という言い方もある。例えば Meyer と Zhu の [MZ15] など。 Pretopology は, 位相空間での開基のようなものであり, そこから sieve が生成される。 その意味で pretopology と呼ばれる, と思う。

Voevodsky [Voe10] は, cd-structure と呼ばれる可換な四角の図式の集まりから Grothendieck topology を生成することを考えた。その動機は, Brown と Gersten [BG73] による simplicial sheaf への approach を一般化することであり, Nisnevich topology などを cd-structure から構成できる。

• cd-structure

Grothendieck topology を持つ small category を site という。

• site

Site 上では sheaf の概念が考えられることが重要である。 ある site 上の集合に値を持つ sheaf の category に同値な category を Grothendieck topos という。

• topos

Étale homotopy theory や motivic homotopy theory では hypercover の概念が使われる。

• hypercover

Grothendieck topology の例は, 次にまとめた。

• examples of Grothendieck topologies

一般化としては, Borceux と Quinteiro [BQ96] による enriched category 上の Grothendieck topology がある。興味深いのは, 彼等が enriched presheaf の category の localization と enriched Grothendieck topology の間に一対一対応があることを示していることである。 Jardine による simplicial presheaf の homotopy theory [Jar87] で, Grothendieck topology の情報を model structure の weak equivalence 入れてうまくいっているのが不思議だったが, Borceux と Quinteiro の対応を知ると納得できる。

• enriched Grothendieck topology

他の一般化としては, Lurie が [Lur09] の Chapter 6 で 議論している \((\infty ,1)\)-category 上の Grothendieck topology がある。Pstragowski の [Pst23] の Appendix A を見るとよい。

• Grothendieck topology on \((\infty ,1)\)-category

References

[Art62]

Michael Artin. Grothendieck Topologies. Notes on a Seminar by M. Artin, Spring, 1962. 1962. url: http://www.math.ubc.ca/~gor/Artin-GT.pdf.

[BG73]

Kenneth S. Brown and Stephen M. Gersten. “Algebraic \(K\)-theory as generalized sheaf cohomology”. In: Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 266–292. Lecture Notes in Math., Vol. 341.

[BQ96]

Francis Borceux and Carmen Quinteiro. “A theory of enriched sheaves”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 37.2 (1996), pp. 145–162.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[KS06]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves. Vol. 332. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. x+497. isbn: 978-3-540-27949-5; 3-540-27949-0. url: https://doi.org/10.1007/3-540-27950-4.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[MM94]

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic. Universitext. A first introduction to topos theory, Corrected reprint of the 1992 edition. New York: Springer-Verlag, 1994, pp. xii+629. isbn: 0-387-97710-4.

[MZ15]

Ralf Meyer and Chenchang Zhu. “Groupoids in categories with pretopology”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 55, 1906–1998. arXiv: 1408.5220.

[Pst23]

Piotr Pstragowski. “Synthetic spectra and the cellular motivic category”. In: Invent. Math. 232.2 (2023), pp. 553–681. arXiv: 1803.01804. url: https://doi.org/10.1007/s00222-022-01173-2.

[Vis05]

Angelo Vistoli. “Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory”. In: Fundamental algebraic geometry. Vol. 123. Math. Surveys Monogr. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 1–104. arXiv: math/0412512.

[Voe10]

Vladimir Voevodsky. “Homotopy theory of simplicial sheaves in completely decomposable topologies”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.8 (2010), pp. 1384–1398. arXiv: 0805.4578. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.11.004.