Grothendieck Topology

誤解を恐れずに言うと, Grothendieck topology は, 有限体上の scheme を位相空間 (可微分多様体) のように扱うために考えられたものである。 Zariski topology では開集合が少なすぎるため, 特定の写像 (例えばétale morphism) を開集合として扱うことにより開集合を増やすと, 扱いやすくなる。 そこで開集合の成す poset の代わりに, より一般の small category 上の “topology” を考えたのである。

nLab のページによると, original text は Artin の seminar notes [Art62] のようである。普通参照されるのは, SGA だと思うが。

手っ取り早く学ぶのなら, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] か Kashiwara と Schapira の本 [KS06] が良いのではないだろうか。 Vistoli の [Vis05] もある。 いくつかの approach があり, Kashiwara と Schapira の本では次の3つが紹介されている。

• sieve
• covering
• local epimorphism

ここでいう covering とは open covering の一般化の意味である。 Pretopology という言い方もある。例えば Meyer と Zhu の [MZ15] など。 Pretopology は, 位相空間での開基のようなものであり, そこから sieve が生成される。 その意味で pretopology と呼ばれる, と思う。

Grothendieck topology を持つ small category を site という。

• site

Site 上では sheaf の概念が考えられることが重要である。 ある site 上の集合に値を持つ sheaf の category に同値な category を Grothendieck topos という。

• topos

Étale homotopy theory や motivic homotopy theory では hypercover の概念が使われる。

• hypercover

Grothendieck topology の例は, 次にまとめた。

• examples of Grothendieck topologies

一般化としては, Borceux と Quinteiro [BQ96] による enriched category 上の Grothendieck topology がある。興味深いのは, 彼等が enriched presheaf の category の localization と enriched Grothendieck topology の間に一対一対応があることを示していることである。 Jardine による simplicial presheaf の homotopy theory [Jar87] で, Grothendieck topology の情報を model structure の weak equivalence 入れてうまくいっているのが不思議だったが, Borceux と Quinteiro の対応を知ると納得できる。

• enriched Grothendieck topology

他の一般化としては, Lurie が [Lur09] の Chapter 6 で 議論している \((\infty ,1)\)-category 上の Grothendieck topology がある。Pstragowski の [Pst23] の Appendix A を見るとよい。

• Grothendieck topology on \((\infty ,1)\)-category

References

[Art62]

Michael Artin. Grothendieck Topologies. Notes on a Seminar by M. Artin, Spring, 1962. 1962. url: http://www.math.ubc.ca/~gor/Artin-GT.pdf.

[BQ96]

Francis Borceux and Carmen Quinteiro. “A theory of enriched sheaves”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 37.2 (1996), pp. 145–162.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[KS06]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves. Vol. 332. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. x+497. isbn: 978-3-540-27949-5; 3-540-27949-0. url: https://doi.org/10.1007/3-540-27950-4.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[MM94]

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic. Universitext. A first introduction to topos theory, Corrected reprint of the 1992 edition. New York: Springer-Verlag, 1994, pp. xii+629. isbn: 0-387-97710-4.

[MZ15]

Ralf Meyer and Chenchang Zhu. “Groupoids in categories with pretopology”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 55, 1906–1998. arXiv: 1408.5220.

[Pst23]

Piotr Pstragowski. “Synthetic spectra and the cellular motivic category”. In: Invent. Math. 232.2 (2023), pp. 553–681. arXiv: 1803. 01804. url: https://doi.org/10.1007/s00222-022-01173-2.

[Vis05]

Angelo Vistoli. “Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory”. In: Fundamental algebraic geometry. Vol. 123. Math. Surveys Monogr. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 1–104. arXiv: math/0412512.