Grothendieck Topology

誤解を恐れずに言うと, Grothendieck topology は, 有限体上の scheme を位相空間 (可微分多様体) のように扱うために考えられたものである。 Zariski topology では開集合が少なすぎるため, 特定の写像 (例えばétale morphism) を開集合として扱うことにより開集合を増やすと, 扱いやすくなる。 そこで開集合の成す poset の代わりに, より一般の small category 上の “topology” を考えたのである。

nLab のページによると, original text は Artin の seminar notes [Art62] のようである。普通参照されるのは, SGA だと思うが。

手っ取り早く学ぶのなら, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] か Kashiwara と Schapira の本 [KS06] が良いのではないだろうか。 Vistoli の [Vis05] もある。 いくつかの approach があり, Kashiwara と Schapira の本では次の3つが紹介されている。

• sieve
• covering
• local epimorphism

ここでいう covering とは open covering の一般化の意味である。 Pretopology という言い方もある。例えば Meyer と Zhu の [MZ15] など。 Pretopology は, 位相空間での開基のようなものであり, そこから sieve が生成される。 その意味で pretopology と呼ばれる, と思う。

Grothendieck topology を持つ small category を site という。

• site

Site 上では sheaf の概念が考えられることが重要である。 ある site 上の集合に値を持つ sheaf の category に同値な category を Grothendieck topos という。

• topos

Étale homotopy theory や motivic homotopy theory では hypercover の概念が使われる。

• hypercover

Grothendieck topology を代数的トポロジーに使ったものとしては以下の仕事がある。

• Mark Johnsonに よる spectrum や多重ループ空間の定義
• Hopf algebroid は affine groupoid scheme であり, Hopf algebroid 上の comodule はその groupoid scheme 上の quasi-coherent sheaf とみなせる。[Hov02]

代数的トポロジーの伝統的な研究対象とは言えないかもしれないが, local pospace の圏を埋め込むための model category を構成するため [BW06; Wor10] にも使われている。

Poset 上の Grothendieck topology を調べたものとして, Lindenhovius の [Lin] がある。

Grothendieck topology を位相の一般化と考えたときに, 点がとれないことが位相空間との大きな違いであることを指摘し, より位相空間に近い ionad という概念を考えているのは, Garner [Gar12] である。

もちろん, 元々は代数幾何の文脈で, Grothendieck が導入したものであり, Zariski site と étale site が代表的な例である。Voevodsky の \(\mathbb {A}^1\)-homotopy では, その中間に位置する Nisnevich site が使われている。 他にも様々な Grothendieck topology が代数幾何では使われている。

• Grothendieck topology in algebraic geometry

Balmer [Bal15] は, 有限群の表現の成す圏を調べるために, finite \(G\)-set の圏に Grothendieck topology を定義している。

有限群の表現に関連したものとしては, Fei Xu らの [XX22; WX] などで考えられているものがある。

Fei Xu らの [Di+] では, atomic topology を持つ site 上の module の sheaf と small category の表現や topological group の discrete representation との関係が調べられている。

• atomic topology

Atomic topology とは, right Ore condition をみたす small category 上に定義される Grothendieck topology で, [Di+] では, Artin の lecture notes [Art62]. Milne の本 [Mil80] の II.1.9, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] の III.9 の Theorem 1 と 2 が参照されている。

一般化としては, Borceux と Quinteiro [BQ96] による enriched category 上の Grothendieck topology がある。興味深いのは, 彼等が enriched presheaf の category の localization と enriched Grothendieck topology の間に一対一対応があることを示していることである。 Jardine による simplicial presheaf の homotopy theory [Jar87] で, Grothendieck topology の情報を model structure の weak equivalence 入れてうまくいっているのが不思議だったが, Borceux と Quinteiro の対応を知ると納得できる。

• enriched Grothendieck topology

他の一般化としては, Lurie が [Lur09] の Chapter 6 で 議論している \((\infty ,1)\)-category 上の Grothendieck topology がある。

References

[Art62]

Michael Artin. Grothendieck Topologies. Notes on a Seminar by M. Artin, Spring, 1962. 1962. url: http://www.math.ubc.ca/~gor/Artin-GT.pdf.

[Bal15]

Paul Balmer. “Stacks of group representations”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17.1 (2015), pp. 189–228. arXiv: 1302.6290. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/501.

[BQ96]

Francis Borceux and Carmen Quinteiro. “A theory of enriched sheaves”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 37.2 (1996), pp. 145–162.

[BW06]

Peter Bubenik and Krzysztof Worytkiewicz. “A model category for local po-spaces”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 263–292. arXiv: math/0506352.

[Di+]

Zhenxing Di, Liping Li, Li Liang, and Fei Xu. Sheaves of modules on atomic sites and discrete representations of topological groups. arXiv: 2108.13600.

[Gar12]

Richard Garner. “Ionads”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.8-9 (2012), pp. 1734–1747. arXiv: 0912 . 1415. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.02.013.

[Hov02]

Mark Hovey. “Morita theory for Hopf algebroids and presheaves of groupoids”. In: Amer. J. Math. 124.6 (2002), pp. 1289–1318. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v124/124.6hovey.pdf.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[KS06]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves. Vol. 332. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. x+497. isbn: 978-3-540-27949-5; 3-540-27949-0. url: https://doi.org/10.1007/3-540-27950-4.

[Lin]

Bert Lindenhovius. Grothendieck topologies on a poset. arXiv: 1405. 4408.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Mil80]

James S. Milne. Étale cohomology. Vol. 33. Princeton Mathematical Series. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1980, pp. xiii+323. isbn: 0-691-08238-3.

[MM94]

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic. Universitext. A first introduction to topos theory, Corrected reprint of the 1992 edition. New York: Springer-Verlag, 1994, pp. xii+629. isbn: 0-387-97710-4.

[MZ15]

Ralf Meyer and Chenchang Zhu. “Groupoids in categories with pretopology”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 55, 1906–1998. arXiv: 1408.5220.

[Vis05]

Angelo Vistoli. “Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory”. In: Fundamental algebraic geometry. Vol. 123. Math. Surveys Monogr. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 1–104. arXiv: math/0412512.

[Wor10]

Krzysztof Worytkiewicz. “Sheaves of ordered spaces and interval theories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 5.1 (2010), pp. 37–61. arXiv: 0808.1820.

[WX]

Mawei Wu and Fei Xu. Skew category algebras and modules on ringed finite sites. arXiv: 2207.04731.

[XX22]

Tengfei Xiong and Fei Xu. “On sheaves in finite group representations”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.10 (2022), Paper No. 107085, 14. arXiv: 2010.10372. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107085.