Garside群と関連した概念

Garside群とは, あるmonoid (Garside monoid) から “group of fractions” を取ることにより得られる群である。Dehornoy と Paris の [DP99] で導入された。

Dehornoy と Paris [DP99] によると, 元々 Garside が braid群の標準的な関係式による表示を用いて定義した monoid (positive braid monoid) を用いてbraid群の word problem を考えたのが起源のようである。

• Garside monoid と Garside group

Lee と Lee の [LL] では, Garside group の文献として [Gar69; Eps+92; BKL98; DP99; Deh02; FG; Geb] が挙げられている。

基本的な性質として次のものがある。

• Garside group は biautomatic
• well generated complex reflection group の braid群は Garside group, よって biautomatic [Bes15]

Garside group の 分類空間の構成としては, Charney と Meier と Whittlesey の [CMW04] が重要である。 この構成から Garside group の分類空間として有限複体がとれることがわかる。

• Garside group は finite \(K(\pi ,1)\) を持つ

このことから分かるように, Garside group の構造は complex hyperplane arragement の complement の \(K(\pi ,1)\) 問題に有用である。実際, Bessis の結果 [Bes] は, [Bes15] で使われている。

Brav と Hugh Thomas の Kleinian singularity の derived category の stability conditionの空間に関する仕事 [BT11] でも, braid群が Garside group であることが, 重要な役割を果している。

関連した monoid や群として以下のようなものがある。

• Gaussian monoid
• Gaussian group

Monoid は object 一つの small category であるから, これらを small category に一般化することが考えられる。実際, Dehornoy の [Deh09] による と, Garside category の概念は, 独立に何人か [Bes; DM; Kra08] によって考えられたようである。 Garside category から作られた groupoid を Garside groupoid という。Krammer の [Kra08] と Bessis の [Bes] を見るとよい。

• Garside category と Garside groupoid

また, Dehornoy の [Deh09] にもあるように, self-distributivity とも関係が深い。

• rack やその一般化

References

[Bes]

David Bessis. Garside categories, periodic loops and cyclic sets. arXiv: math/0610778.

[Bes15]

David Bessis. “Finite complex reflection arrangements are \(K(\pi ,1)\)”. In: Ann. of Math. (2) 181.3 (2015), pp. 809–904. arXiv: math/0610777. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2015.181.3.1.

[BKL98]

Joan Birman, Ki Hyoung Ko, and Sang Jin Lee. “A new approach to the word and conjugacy problems in the braid groups”. In: Adv. Math. 139.2 (1998), pp. 322–353. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1761.

[BT11]

Christopher Brav and Hugh Thomas. “Braid groups and Kleinian singularities”. In: Math. Ann. 351.4 (2011), pp. 1005–1017. arXiv: 0910.2521. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-010-0627-y.

[CMW04]

R. Charney, J. Meier, and K. Whittlesey. “Bestvina’s normal form complex and the homology of Garside groups”. In: Geom. Dedicata 105 (2004), pp. 171–188. arXiv: math/0202228. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:GEOM.0000024696.69357.73.

[Deh02]

Patrick Dehornoy. “Groupes de Garside”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 35.2 (2002), pp. 267–306. arXiv: math/0111157. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(02)01090-X.

[Deh09]

Patrick Dehornoy. “Left-Garside categories, self-distributivity, and braids”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 16.2 (2009), pp. 189–244. arXiv: 0810.4698. url: http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2009__16_2_189_0.

[DM]

François Digne and Jean Michel. Garside and locally Garside categories. arXiv: math/0612652.

[DP99]

Patrick Dehornoy and Luis Paris. “Gaussian groups and Garside groups, two generalisations of Artin groups”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 79.3 (1999), pp. 569–604. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611599012071.

[Eps+92]

David B. A. Epstein et al. Word processing in groups. Boston, MA: Jones and Bartlett Publishers, 1992, pp. xii+330. isbn: 0-86720-244-0.

[FG]

Nuno Franco and Juan Gonzalez-Meneses. Conjugacy problem for braid groups and Garside groups. arXiv: math/0112310.

[Gar69]

F. A. Garside. “The braid group and other groups”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 20 (1969), pp. 235–254. url: https://doi.org/10.1093/qmath/20.1.235.

[Geb]

Volker Gebhardt. A New Approach to the Conjugacy Problem in Garside Groups. arXiv: math/0306199.

[Kra08]

Daan Krammer. “A class of Garside groupoid structures on the pure braid group”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.8 (2008), pp. 4029–4061. arXiv: math/0509165. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04313-4.

[LL]

Eon-Kyung Lee and Sang Jin Lee. Abelian subgroups of Garside groups. arXiv: math/0609683.