Frobenius algebra と関連した概念

Skowroński と Yamagata の [SY06] によると, Frobenius が [Fro03a; Fro03b] で調べた代数的構造の重要性に気が付き, Frobenius algebra という名前を付けたのは, Brauer と Nesbitt [BN37] である。Hernandez と Walton と Yadav [HWY] に書かれているように, Nakayama の仕事 [Nak39; Nak41] も重要である。

Qi [Qi19] は Kadison の monograph [Kad99] を参照している。

Frobenius algebra は, 純粋に代数的に定義される概念であるが, 様々ところで顔を出す。 代表的なところでは topological field theory である。 Freed, Hopkins, Teleman の [FHT10] では, compact Lie 群の twisted equivariant \(K\)-theory として現れる 。

• 体 \(k\) 上の Frobenius algebra と\(1\)次元多様体の cobordism category から \(k\) 上のベクトル空間の圏への monoidal functor は, 一対一に対応する。

Frobenius algebra の定義は, 様々な同値な定義に言い換えることができる。 それを調べたのは, Nakayama [Nak39; Nak41] らしい。 より一般的な monoidal category での Frobenius monoid の場合, Street の [Str04] で6つの定義が挙げられているので, これを見るのが良いと思う。

• Frobenius algebra の様々な定義
• Frobenius extension
• Frobenius system [Kho06]

Street の論文にもあるように, Frobenius algebra の定義は, monoidal category で考えるのが自然である。

可換環の inclusion \(i : A \hookrightarrow R\) から誘導される restriction functor \[ \mathrm {Res} : \lMod {R} \rarrow {} \lMod {A} \] は left adjoint と right adjoint を持つ。それらが一致するとき, \(i\) は Frobenius extension と呼ばれる。Frobenius extension に, 更にある構造が加わったのが Frobenius system である。これらについては, Kadison の [Kad99] などの文献がある。Frobenius system は, Khovanov の link homology の定義 [Kho06] でも用いられている。 Brown, Gordon, Stroppel は [BGS08] で, Cherednik algebra や Hecke algebra や各種 “quantized algebra” が center の上の free Frobenius extension であることを示している。

ホモロジー代数的には, quasi-Frobenius ring という概念の方が便利かもしれない。Projective module と injective module が一致するような環のことである。 代数的トポロジストが書いたものとしては, 例えば, Hovey と Lockridge の [HL] で graded projective module の成す圏が triangulated category の構造を持つための必要条件として登場する。他にも IF ring (injective-flat ring) という概念も現れる。 Weibel [Wei94] は Faith の本 [Fai76] を参照している。

• quasi-Frobenius ring
• IF ring
• self-injective algebra

より一般に, injective object と projective object が一致している Frobenius category を考えた方が自然のように思う。

• Frobenius category

体上の Frobenius algebra の重要な例は, 有限群の group algebra である。 Hovey の model category の本 [Hov99] では, Curtis と Reiner の本 [CR88] の section 62 が参照されている。より一般に, 体上の有限次元 Hopf algebra も Frobenius algebra になる。 Larson と Sweedler [LS69] により, integral から bilinear form を定義することにより示された。

• 体上の有限次元 Hopf algebra は Frobenius algebra [LS69; Mon93]
• Frobenius algebra 上の module の category には, 単射を cofibration, 全射を fibration, stable equivalence を weak equivalence とする cofibrantly generated model structure が存在する。[Hov99]
• Frobenius algebra 上の module の stable category は triangulated category になる。

Khovanov は, [Kho16] で体上の有限次元 Hopf algebra 上の comodule algebra 上の module の圏から得られる triangulated category を考えている。 Comodule algebra として, degree \(1\)の生成元を一つだけ持つ exterior algebra を考えると, dg algebra 上の module の圏が得られる。これ以外に様々な triangulated category が, 有限次元 Hopf algebra から構成されるが, このような homological algebra の一般化を, Khovanov は Hopfological algebra と呼んでいる。

• Hopfological algebra

例としては, 向き付け可能な多様体のコホモロジーもある。 Poincaré duality により Frobenius algebra になっていて, また Poincaré duality は Atiyah [Ati61] により, Thom complex を用いた stable homotopy category での duality に翻訳できることが知られている。この Atiyah duality を包括する Frobenius monoid の一般化を考えているのが, Rezk の [Rez] である。

その Frobenius monoid は, 上記のように Street の [Str04] に書かれているが, Lauda と Pfeiffer の [LP07] に詳しい。 また, Lauda は, [Lau06; Lau] などで Frobenius monoid と \(2\)-category での adjunction との関係を調べている。

このような Poincaré duality をみたす graded algebra は, 代数的トポロジーでは1970年代に Moore と Peterson [MP71; MP73] により Poincaré algebra の名前で登場する。

• Poincaré algebra

これは多様体のコホモロジーではなく, Steenrod algebra 上の加群に関する Adams と Margolis の仕事 [AM71] に起源を持つものである。 また, Moore と Peterson の仕事を発展させ, Margolis が [Mar83] の Chapter 13 で, \(P\)-algebra の概念を導入し調べている。Margolis の本の Chapter 12 は, Poincaré algebra のことを知るためにもよい。

• \(P\)-algebra

\(P\)-algebra については, Andrew Baker の [Bak] も見るとよい。

X. Chen [Che12] は, string topology に現れる多様体の free loop space のホモロジーの Chas-Sullivan product を考えるために, 元の多様体の chain complex 上の構造として differential graded open Frobenius-like algebra というものを考えた。Cattaneo と Mnëv は, perturbative Chern-Simons theory を考える [CM10] 上で differential graded Frobenius algebra や differential graded Frobenius-Lie algebra を考えている。

• differential graded Frobenius algebra
• differential graded Frobenius Lie algebra
• differential graded open Frobenius-like algebra

Frobenius algebra の dual として co-Frobenius coalgebra を考えているのが, Iovanov の [Iov06] である。

Global quotient orbifold の orbifold cohomology を考えるときには, 群の作用を持つ Frobenius algebra, \(G\)-Frobenius algebra の概念が必要になる。これについては, Kaufmann による解説 [Kau03] がある。更に, global quotient orbifold の inertia groupoid からできるものについて考えたのが [Kau04] である。

• \(G\)-Frobenius algebra

Calabi-Yau algebra の条件を満たすものとして Calabi-Yau Frobenius algebra というものを, Eu と Schedler が [ES09] で考えている。

• Calabi-Yau Frobenius algebra

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