Calabi-Yau多様体

R. Thomas [Tho00] によると, \(n\)-dimensional Calabi-Yau多様体は, orientable compact real \(n\)-manifold の complex analogue である。 例えば, Yau らによる Scholarpedia の記事 [Sch] がある。

Calabi-Yau多様体は, もちろん, mirror symmetryとの関係で重要である。 Kapustin と Orlov の [KO04]によると, Calabi-Yau多様体 には “自然に” \(N=2\) super conformal field theory (SCFT) が attach されて, 2つの Calabi-Yau多様体に対応する SCFT が mirror の関係にあるとき, 元のCalabi-Yau多様体が mirror になっているという。

このように, mirror symmetry は元々は conformal field theory に関する概念だったが, 数学的には Calabi-Yau多様体の mirror symmetry という幾何学の一分野を創出することになった。

Calabi-Yau多様体については, 代数幾何の視点から述べられることが多いが, ホモロジーや \(K\)-theory について, 代数的トポロジーの方法により調べているものとして, Doran と Morgan の [DM07] は興味深い。また toric variety の subvariety (hypersurface や complete intersection) になっている Calabi-Yau多様体について, 凸多面体の組み合せ論など toric variety の手法を使って調べている点でも面白い。

関連して, “Calabi-Yau” という言葉を冠した概念が, 色々定義されている。

• Calabi-Yau category
• Calabi-Yau algebra

この代数的な Calabi-Yau condition は, Oberwolfach のレポートを見ると, quiver や cluster algebra とも関係して, 表現論などでも重要であるらしい。

References

[DM07]

Charles F. Doran and John W. Morgan. “Algebraic topology of Calabi-Yau threefolds in toric varieties”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 597–642. arXiv: math/0605074. url: https://doi.org/10.2140/gt.2007.11.597.

[KO04]

A. N. Kapustin and D. O. Orlov. “Lectures on mirror symmetry, derived categories, and D-branes”. In: Uspekhi Mat. Nauk 59.5(359) (2004), pp. 101–134. arXiv: math/0308173. url: http://dx.doi.org/10.1070/RM2004v059n05ABEH000772.

[Sch]

Scholarpedia. Calabi-Yau manifold. url: http://www.scholarpedia.org/article/Calabi-Yau_manifold.

[Tho00]

R. P. Thomas. “A holomorphic Casson invariant for Calabi-Yau 3-folds, and bundles on \(K3\) fibrations”. In: J. Differential Geom. 54.2 (2000), pp. 367–438. arXiv: math/9806111. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214341649.