(Co)homology Theories in Physics

Witten のおかげで, 多くのアイデアが 物理学からトポロジーに輸入されたり, 逆にトポロジーの道具が物理学で使われるようになった。 代数的トポロジーの道具では, まず (コ)ホモロジーを挙げるべきだろう。

そのような Witten のアイデアの中で最も古いものは, Morse theory に関する [Wit82] だろう。

私が最初に知ったのは, twisted \(K\)-theory と D-brane に関する仕事 [Wit98] であり, これで twisted \(K\)-theory というものを知った。

• twisted \(K\)-theory

この Witten の洞察には感心したが, その後, その twisted \(K\)-theory が 物性物理学に登場することを知ったときも驚いた。これは Witten のアイデアではないが。

その topological phase に関するFreed と Moore による論文 [FM13] は

Increasingly sophisticated ideas from homotopy theory are being used to elucidate issues in quantum field theory and string theory.

という文章で始まっている。Freed と Moore の使っているのも twisted \(K\)-theory であるが, Freed の [Fre08] では, よりホモトピー論的 (?)な, \(\mathrm {Sq}^1\mathrm {Sq}^2\) による two stage Postnikov system が使われている。

その後, この分野では様々な(コ)ホモロジー論やその twisted 版, そして twisted equivariant 版が使われるようになっている。

• twisted cohomology
• twisted equivariant cohomology

Freed の [Fre00] や, Hopkins と Singer の [HS05] で考えられている, generalized differential cohomology という de Rham cohomology と generalized cohomology を融合したものもある。 その twisted 版もある。

• differential cohomology
• twisted differential cohomology

Witten に関連したこととしては, elliptic cohomology も重要である。最近では topological modular forms として formulate されているが, それも 物性物理学で使われるようになっている。

• elliptic cohomology
• topological modular forms

物性物理学には cup-\(i\) product も登場する。Chen と Tata の [CT23] など。

• cup-\(i\) product

Witten に関係したこととしては, quantum cohomology もある。積を quantum deformation で変形したものである。

• quantum cohomology

最近目にしたものとしては, Galakhov の [Gal23] がある。BPS state の空間と quiver の表現の moduli space の equivariant cohomology の関係を述べている。

• equivariant (co)homology

References

[CT23]

Yu-An Chen and Sri Tata. “Higher cup products on hypercubic lattices: application to lattice models of topological phases”. In: J. Math. Phys. 64.9 (2023), Paper No. 091902, 50. arXiv: 2106.05274. url: https://doi.org/10.1063/5.0095189.

[FM13]

Daniel S. Freed and Gregory W. Moore. “Twisted Equivariant Matter”. In: Ann. Henri Poincaré 14.8 (2013), pp. 1927–2023. arXiv: 1208.5055. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00023-013-0236-x.

[Fre00]

Daniel S. Freed. “Dirac charge quantization and generalized differential cohomology”. In: Surveys in differential geometry. Surv. Differ. Geom., VII. Int. Press, Somerville, MA, 2000, pp. 129–194. arXiv: hep-th/0011220.

[Fre08]

Daniel S. Freed. “Pions and generalized cohomology”. In: J. Differential Geom. 80.1 (2008), pp. 45–77. arXiv: hep-th/0607134. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1217361066.

[Gal23]

Dmitry Galakhov. “BPS states meet generalized cohomology”. In: J. High Energy Phys. 7 (2023), Paper No. 59, 35. arXiv: 2303.05538. url: https://doi.org/10.1007/jhep07(2023)059.

[HS05]

M. J. Hopkins and I. M. Singer. “Quadratic functions in geometry, topology, and M-theory”. In: J. Differential Geom. 70.3 (2005), pp. 329–452. arXiv: math/0211216. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143642908.

[Wit82]

Edward Witten. “Supersymmetry and Morse theory”. In: J. Differential Geom. 17.4 (1982), 661–692 (1983). url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437492.

[Wit98]

Edward Witten. “D-branes and \(K\)-theory”. In: J. High Energy Phys. 12 (1998), Paper 19, 41 pp. (electronic). arXiv: hep-th/9810188. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/1998/12/019.