Algebraic Quantum Field Theory

Quantum field theory の formulation として algebraic quantum field theory と呼ばれるものがある。Haag と Kastler [HK64] により導入された。

以下のような講義ノートや本など入手可能である。

• Hawkins [Haw18] は Haag の本 [Haa96] を参照している。
• Schroer の [Sch]
• John Roberts の [Rob90] や [Rob04]
• Fredenhagen と Rejzner の講義ノート [FR15] は algebraic quantum mechanics から始まる。
• Kawahigashi の講義ノート [Kaw15] は vertex operator algebra との関係に焦点を当てている。
• Donald Yau の [Yau20]

定義は簡単で, 位相空間の開集合の成す small category (poset) から, algebra の category への covariant functor で, ある条件をみたすものである。

定義域をもっと一般的な small category にしようと考えている人もいる。 Benini と Schenkel と Woike [BSW21] は, そのために orthogonal category という概念を導入した。 更に値域も monoidal category の monoid object の成す category に一般化するのは自然である。

彼等は, algebraic quantum field theory をその上の algebra として表す operad を定義している。

• algebraic quantum field theory operad

Donald Yau の本 [Yau20] の part 2 が, algebraic quantum field theory と prefactorization algebra に関して書かれていることから分かるように, (pre)factorization algebra との関係も深い。

• factorization algebra

Donald Yau の [Yau20] では homotopy algebraic quantum field theory が導入されている。

• homotopy algebraic quantum field theory

ホモトピー論的なアプローチとしては, Carmona の [Car23] もある。 Benini と Schenkel と Woike の仕事を拡張し, いくつかの model structure を定義している。

References

[BSW21]

Marco Benini, Alexander Schenkel, and Lukas Woike. “Operads for algebraic quantum field theory”. In: Commun. Contemp. Math. 23.2 (2021), Paper No. 2050007, 39. arXiv: 1709 . 08657. url: https://doi.org/10.1142/S0219199720500078.

[Car23]

Victor Carmona. “New model category structures for algebraic quantum field theory”. In: Lett. Math. Phys. 113.2 (2023), Paper No. 33, 38. arXiv: 2107.14176. url: https://doi.org/10.1007/s11005-023-01644-4.

[FR15]

Klaus Fredenhagen and Katarzyna Rejzner. “Perturbative algebraic quantum field theory”. In: Mathematical aspects of quantum field theories. Math. Phys. Stud. Springer, Cham, 2015, pp. 17–55. arXiv: 1208.1428. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-21353-8.

[Haa96]

Rudolf Haag. Local quantum physics. Second. Texts and Monographs in Physics. Fields, particles, algebras. Springer-Verlag, Berlin, 1996, pp. xvi+390. isbn: 3-540-61451-6; 3-540-61049-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-61458-3.

[Haw18]

Eli Hawkins. “A cohomological perspective on algebraic quantum field theory”. In: Comm. Math. Phys. 360.1 (2018), pp. 439–479. arXiv: 1612.05161. url: https://doi.org/10.1007/s00220-018-3098-8.

[HK64]

Rudolf Haag and Daniel Kastler. “An algebraic approach to quantum field theory”. In: J. Mathematical Phys. 5 (1964), pp. 848–861. url: https://doi.org/10.1063/1.1704187.

[Kaw15]

Yasuyuki Kawahigashi. “Conformal field theory, tensor categories and operator algebras”. In: J. Phys. A 48.30 (2015), pp. 303001, 57. arXiv: 1503.05675. url: https://doi.org/10.1088/1751-8113/48/30/303001.

[Rob04]

J. E. Roberts. “More lectures on algebraic quantum field theory”. In: Noncommutative geometry. Vol. 1831. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2004, pp. 263–342. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-39702-1_5.

[Rob90]

J. E. Roberts. “Lectures on algebraic quantum field theory”. In: The algebraic theory of superselection sectors (Palermo, 1989). World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1990, pp. 1–112.

[Sch]

Bert Schroer. Lectures on Algebraic Quantum Field Theory and Operator Algebras. arXiv: math-ph/0102018.

[Yau20]

Donald Yau. Homotopical quantum field theory. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, [2020] ©2020, pp. xi+298. isbn: 978-981-121-285-7. arXiv: 1802.08101.