各種幾何学的対象に対する K 理論

\(K\) 理論は, もともと Grothendieck が 代数幾何学の context で定義したものであり, それを Atiyah と Hirzebruch が位相空間の世界に輸入して一般的になった。

それ以降, scheme や位相空間以外のものにも \(K\) 理論を定義しようという試みが続けられている。例えば, orbifold (より一般に topological groupoid) の \(K\) 理論などである。

• orbifold の \(K\)-theory
• topological groupoid の \(K\) 理論 ([Moe02] の §5.4)
• \(C^*\)-category の \(KK\)-theory ([Mit02])

代数多様体に対しては, Friedlander と Walker の semi-topological \(K\)-theory という algebraic \(K\)-theory と topological \(K\)-theory の中間に位置するものも ある。それに近いものとして, 複素多様体に対する R. Cohen と Lima-Filho [CL01] の holomorphic \(K\)-theory がある。

• semi-topological \(K\)-theory やその変種

可微分多様体に対しては, differential あるいは smooth version と呼ばれる変種がある。

• differential cohomology

様々な幾何学的対象から, dg category や stable \(\infty \)-category ができるので, それらの algebraic \(K\)-theory も Grothendieck group の一般化と考えることができる。

• algebraic \(K\)-theory

Anthony Blanc が [Bla16; Bla] で dg category に対して定義した, topological \(K\)-theory とか semitopological \(K\)-theory というものもあるが, Friedlander-Walker の semitopological \(K\)-theory とは別物である。

References

[Bla]

Anthony Blanc. Invariants topologiques des Espaces non commutatifs. arXiv: 1307.6430.

[Bla16]

Anthony Blanc. “Topological K-theory of complex noncommutative spaces”. In: Compos. Math. 152.3 (2016), pp. 489–555. arXiv: 1211.7360. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007617.

[CL01]

Ralph L. Cohen and Paulo Lima-Filho. “Holomorphic \(K\)-theory, algebraic co-cycles, and loop groups”. In: \(K\)-Theory 23.4 (2001), pp. 345–376. arXiv: math/9912153. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1011969420506.

[Mit02]

Paul D. Mitchener. “\(KK\)-theory of \(C^*\)-categories and the analytic assembly map”. In: \(K\)-Theory 26.4 (2002), pp. 307–344. arXiv: math/0202037. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020623132356.

[Moe02]

Ieke Moerdijk. “Orbifolds as groupoids: an introduction”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 205–222. arXiv: math/0203100.