Quasideterminant

線型代数, 特に行列式を一般化しようという試みは, 様々な視点から行なわれている。 例えば, Gel\('\)fand と Kapranov と Zelevinsky の本 [GKZ94] で扱われている高次の行列の行列式などがある。 Quasideterminant も通常の行列式の一般化の一つであり, Gel\('\)fand と Retakh により導入されたものである。

Quasideterminat については, 当然 Gel\('\)fand と Retakh の論文 [GR91; GR97] を見るべきだろうが, その前に Retakh の [Ret10] を読んでおいた方が分かりやすい。 またこのような, 行列式を非可換環に一般化しようという試みについては, Gel\('\)fand と Gel\('\)fand と Retakh と Wilson の [Gel+05] の Introduction に歴史的なことも含めて詳しく書いてある。

Quasideterminant の応用としては, Gel\('\)fand, Krob, Lascoux, Leclerc, Retakh, Thibon の noncommutative symmetric function [Gel+95] や Suzuki の noncommutative spectral decomposition [Suz08] などがある。

• noncommutative symmetric function
• noncommutative spectral decomposition

Quasideterminant が有効な例として, differential operator を成分とする行列や, 四元数を成分とする行列がある。 Gel\('\)fand と Retakh と Wilson は, [GRW03] で四元数を成分とする行列の quasideterminant について調べている。 その論文は非可換環上の (quasi)determinant についての文献も数多くまとめられている。例えば, 四元数行列の行列式については, Aslaksen という人の The Mathematical Intelligencer の解説 [Asl96] が挙げられている。

Gel\('\)fand と Retakh と Wilson [GGR01] は, [GRW01] で導入した \(Q_n\) という noncommutative algebra の構成を一般化し, グラフ, 更に一般に単体的複体 (regular cell complex) に対し noncommutative algebra を構成している。\(Q_n\) は \(n\)単体に対応するものらしい。この論文の目指すところ は, “noncommutative combinatorial topology” らしい。 その Gel\('\)fand と Retakh と Wilson の構成による noncommutative algebra について, Koszul 性などを考えたのが Piontkovski の [Pio06] である。

この combinatorial topology との関係については, Retahk の解説 [Ret10] を読むのがよい。

References

[Asl96]

Helmer Aslaksen. “Quaternionic determinants”. In: Math. Intelligencer 18.3 (1996), pp. 57–65. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF03024312.

[Gel+05]

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[Gel+95]

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[GKZ94]

I. M. Gel\('\)fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1994, pp. x+523. isbn: 0-8176-3660-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4771-1.

[GR91]

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[GR97]

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[GRW01]

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[Pio06]

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[Ret10]

Vladimir Retakh. “From factorizations of noncommutative polynomials to combinatorial topology”. In: Cent. Eur. J. Math. 8.2 (2010), pp. 235–243. arXiv: 0911.4454. url: https://doi.org/10.2478/s11533-010-0008-5.

[Suz08]

Tatsuo Suzuki. “Noncommutative spectral decomposition with quasideterminant”. In: Adv. Math. 217.5 (2008), pp. 2141–2158. arXiv: math/0703751. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.09.011.