Operations on Polytopes

多面体にある操作を行なって新しい多面体を作る方法は, 色々ある。例えば, 正多面体から半正多面体を作るときには, 切頂などの操作を使う。それを一般化したものとして, Wythoff の構成がある。

• Wythoff construction

より基本的な操作として, 次のものがある。これらは, Ziegler の本 [Zie95] など, 多面体の基礎が書かれている本なら, どれでも書いてあるだろう。

• Minkowski sum
• 双対多面体
• 多面体の直積

直積があると, それを monoidal structure として, 多面体と affine 写像の圏を monoidal category にできるが, それを closed monoidal にするのは難しそうである。Hom object の候補として, Hom polytope という構成は導入されているが, 対応する monoidal structure は直積ではない。

• Hom polytope
• tensor product of polytopes
• category of polytopes

この “tensor product” は Valby が卒業研究 [Val06] で導入したものであるが, 同様のことを Valby とは独立に Bogart, Contois, Gubeladze [BCG13] が考えている。

多面体を変形して新しい多面体を作ることも古くから考えられている。 例えば, Padrol, Pilaud, Poullot の [PPP] では, 多面体 \(P\) の変形として, 冒頭で次の4つの構成が挙げられている。

• normal fan が \(P\) の normal fan を coarsen するもの [McM73]
• \(P\) の dilate の Minkowski summand [She63; Mey74]
• 全ての辺の方向が保たれるように \(P\) の頂点を動かしたもの [Pos09; PRW08]
• \(P\) の facet をその法線ベクトルの方向に頂点を越えないように平行移動したもの [Pos09; PRW08]

References

[BCG13]

Tristram Bogart, Mark Contois, and Joseph Gubeladze. “Hom-polytopes”. In: Math. Z. 273.3-4 (2013), pp. 1267–1296. arXiv: 1111.3880. url: https://doi.org/10.1007/s00209-012-1053-5.

[McM73]

P. McMullen. “Representations of polytopes and polyhedral sets”. In: Geometriae Dedicata 2 (1973), pp. 83–99. url: https://doi.org/10.1007/BF00149284.

[Mey74]

Walter Meyer. “Indecomposable polytopes”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 190 (1974), pp. 77–86. url: https://doi.org/10.2307/1996951.

[Pos09]

Alexander Postnikov. “Permutohedra, associahedra, and beyond”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 6 (2009), pp. 1026–1106. arXiv: math/0507163. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnn153.

[PPP]

Arnau Padrol, Vincent Pilaud, and Germain Poullot. Deformation cones of graph associahedra and nestohedra. arXiv: 2109.09200.

[PRW08]

Alex Postnikov, Victor Reiner, and Lauren Williams. “Faces of generalized permutohedra”. In: Doc. Math. 13 (2008), pp. 207–273. arXiv: math/0609184.

[She63]

G. C. Shephard. “Decomposable convex polyhedra”. In: Mathematika 10 (1963), pp. 89–95. url: https://doi.org/10.1112/S0025579300003995.

[Val06]

Laurence Vincent Valby. A Category of Polytopes. B.A. Thesis. 2006. url: http://people.reed.edu/~davidp/homepage/students/valby.pdf.

[Zie95]

Günter M. Ziegler. Lectures on polytopes. Vol. 152. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. x+370. isbn: 0-387-94365-X. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8431-1.