Tensor Triangular Geometry

Balmer [Bal05] は, symmetric monoidal structure を持つ triangulated category (tensor triangulated category) に対し ideal (thick \(\otimes \)-ideal) の概念を導入し, prime ideal の集合上に Zariski topology, そして structure sheaf を定義した。 この ringed space を, その tensor triangulated category の spectrum と呼び, それを調べることを tensor triangular geometry と言うらしい。 Balmer [Bal14; Bal16]は essentially small idempotent complete tensor triangulated category を tt-category と呼び, それを Balmer の spectrum を用いて調べることを tt-geometry と呼んでいる。

  • tensor triangulated category の spectrum
  • tt-category
  • tt-geometry

Balmer 以前の quasicoherent sheaf の category から scheme を reconstruct する試みについては, Brandenburg の thesis [Bra] の Introduction にまとめられている。

この構成は, 代数幾何学での scheme有限群の表現の support variety を統合するものになっているようである。

概要については, Balmer の ICM 2010 での解説 [Bal10b] を見るとよい。より簡潔な introduction としては AMS Notices の2017年11月号の記事がある。 そこでは, 有限群の Burnside ring に対し Dress [Dre69] により定義された spectrum が warm-up example として挙げられている。 他にも, Balmer による thick tensor ideal の分類に関する survey [Bal20] や Stevenson の [Ste] などがある。

ICM の講演録の冒頭の図によると, 他にも stable homotopy theory, motivic homotopy theory, noncommutative topology, symplectic topology という様々な分野に登場する tensor triangulated category を調べるのに使うことを意図しているようである。

例えば, Dell’Ambrogio の [Del] は, そのアイデアを \(KK\)-theory を用いた \(C^*\)-algebra の成す triangulated category に適用したものである。

Balmer自身, [Bal10a] で finite spectrum (安定ホモト ピー論の意味のspectrum) の安定ホモトピー圏の spectrum (tensor triangular geometry の意味の spectrum) を決定している。 Devinatz と Hopkins と Smith の仕事を tensor triangular geometry の言葉に翻訳しただけであるが。

有限群 \(G\) について, \(G\)-equivariant stable homotopy category の spectrum は Balmer と Sanders の [BS] で調べられている。

Greenlees [Gre] は compact Lie 群 \(G\)に対し, rational \(G\)-equivariant stable homotopy category の spectrum を調べている。

Dell’AmbrogioとTabuada [DT12]は, noncommutative motive の triangulated categoryのbootstrap categoryのspectrumなどを調べている。

1元数体finite spectrum の stable homotopy category の関係をみるために, この Balmer の構成を考えたのが, Anevski の [Ane] である。

実際に, 与えられた tensor triagulated category の spectrum を求めるのは容易ではないが, Balmer は [Bal10a] で unit object の endomorphism ring の通常の spectrum との比較を行なっている。もちろん, 一般にはその写像は isomorphism にはならないが, そのアイデアを発展させて, graded 2-ring の spectrum を定義し, それとの比較を行なおうというのが, Dell’Ambrogio と Stevenson の [DS] である。 Sanders の [San] では, より一般の comparison map が調べられている。

Tensor triangulated category は monoidal category なので, その中の monoid object を考えることができる。 Balmer [Bal16] は tt-category の separable commutative monoid object を tt-ring と呼び, その module の category の spectrum と元の tt-category の spectrum を比較している。

  • tt-ring

Balmer の [Bal14]によると, tt-ring の module の category も tt-category の構造を持つようである。Balmer の学生の Bregjie Pauwels という人が, tt-ring に基づいた (quasi-)Galois theory の類似を考えている。これは, この研究集会での Neeman の最後の講演で知った。彼女のホームページから preprint が downloadできる。

Balmer の reconstruction theorem により, Noetherian scheme \(X\) は, その perfect complex の derived category から spectrum として復元できるが, そのことから scheme に対する不変量を tensor triangulated category の言葉で表そうとするのは, 自然はアイデアである。実際, Sebastian Klein [Kle] は, Chow group の構成を与えている。Balmer の idea に基づくものであるらしいが。

Object だけでなく morphism も考ようというのは自然な idea である。Brandenburg は, thesis [Bra] で morphism も reconstruct できる scheme を tensorial と呼んでいる。 そのような流れで, Chirvasitu ら [BCb; CJ] は, symmetric closed monoidal presentable category を commutative \(2\)-ring と呼び, tensor triangular geometry により対応する幾何学的対象を affine \(2\)-scheme と呼んでいる。

Balmer, Krause, Stevenson [BKS] は, 代数幾何 (可換環) との類似で, localize して 局所環を作ってから residue field を取る, という操作をするためには, 何が必要かを考察している。特に tt-geometry で体に対応するものが何か, を考えている。

  • tensor triangular field あるいは tt-field

Tensor triangular geometry での residue field の例としては, [BCa] を見るとよい。 安定ホモトピー圏の場合, Morava \(K\)-theory が residue field として現れるようである。

Nakano, Vashaw, Yakimov [NVY] による noncommutative version も登場した。 Mallick と Ray [MR] が point-free approach を提案している。

References

[Ane]

Stella Anevski. Reconstructing the spectrum of \(\F _1\) from the stable homotopy category. arXiv: 1103.1235.

[Bal05]

Paul Balmer. “The spectrum of prime ideals in tensor triangulated categories”. In: J. Reine Angew. Math. 588 (2005), pp. 149–168. arXiv: math/0409360. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2005.2005.588.149.

[Bal10a]

Paul Balmer. “Spectra, spectra, spectra—tensor triangular spectra versus Zariski spectra of endomorphism rings”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.3 (2010), pp. 1521–1563. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.1521.

[Bal10b]

Paul Balmer. “Tensor triangular geometry”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II. Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010, pp. 85–112.

[Bal14]

Paul Balmer. “Splitting tower and degree of tt-rings”. In: Algebra Number Theory 8.3 (2014), pp. 767–779. arXiv: 1309.1802. url: https://doi.org/10.2140/ant.2014.8.767.

[Bal16]

Paul Balmer. “Separable extensions in tensor-triangular geometry and generalized Quillen stratification”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 49.4 (2016), pp. 907–925. arXiv: 1309.1808. url: https://doi.org/10.24033/asens.2298.

[Bal20]

Paul Balmer. “A guide to tensor-triangular classification”. In: Handbook of homotopy theory. CRC Press/Chapman Hall Handb. Math. Ser. CRC Press, Boca Raton, FL, 2020, pp. 145–162. arXiv: 1912.08963.

[BCa]

Paul Balmer and James C. Cameron. Computing homological residue fields in algebra and topology. arXiv: 2007.04485.

[BCb]

Martin Brandenburg and Alexandru Chirvasitu. Tensor functors between categories of quasi-coherent sheaves. arXiv: 1202.5147.

[BKS]

Paul Balmer, Henning Krause, and Greg Stevenson. Tensor-triangular fields: Ruminations. arXiv: 1707.02167.

[Bra]

Martin Brandenburg. Tensor categorical foundations of algebraic geometry. arXiv: 1410.1716.

[BS]

Paul Balmer and Beren Sanders. The spectrum of the equivariant stable homotopy category of a finite group. arXiv: 1508.03969.

[CJ]

Alexandru Chirvasitu and Theo Johnson-Freyd. The fundamental pro-groupoid of an affine 2-scheme. arXiv: 1105.3104.

[Del]

Ivo Dell’Ambrogio. Tensor triangular geometry and KK-theory. arXiv: 1001.2637.

[Dre69]

Andreas Dress. “A characterisation of solvable groups”. In: Math. Z. 110 (1969), pp. 213–217.

[DS]

Ivo Dell’Ambrogio and Greg Stevenson. Even more spectra: tensor triangular comparison maps via graded commutative 2-rings. arXiv: 1204.2185.

[DT12]

Ivo Dell’Ambrogio and Gonçalo Tabuada. “Tensor triangular geometry of non-commutative motives”. In: Adv. Math. 229.2 (2012), pp. 1329–1357. arXiv: 1104.2761. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.11.005.

[Gre]

J. P. C. Greenlees. The Balmer spectrum of rational equivariant cohomology theories. arXiv: 1706.07868.

[Kle]

Sebastian Klein. Chow groups of tensor triangulated categories. arXiv: 1301.0707.

[MR]

Vivek Mohan Mallick and Samarpita Ray. Noncommutative tensor triangulated categories and coherent frames. arXiv: 2204.08794.

[NVY]

Daniel K. Nakano, Kent B. Vashaw, and Milen T. Yakimov. Noncommutative tensor triangular geometry. arXiv: 1909.04304.

[San]

Beren Sanders. Higher comparison maps for the spectrum of a tensor triangulated category. arXiv: 1302.4521.

[Ste]

Greg Stevenson. A tour of support theory for triangulated categories through tensor triangular geometry. arXiv: 1601.03595.