Balmer [Bal05] は, symmetric monoidal structure を持つ triangulated category
(tensor triangulated category) に対し ideal (thick \(\otimes \)-ideal) の概念を導入し, prime ideal の集合上に
Zariski topology, そして structure sheaf を定義した。 この ringed space を, その tensor
triangulated category の spectrum と呼び, それを調べることを tensor triangular geometry
と言うらしい。 Balmer [Bal14; Bal16]は essentially small idempotent complete tensor
triangulated category を tt-category と呼び, それを Balmer の spectrum を用いて調べることを
tt-geometry と呼んでいる。
- tensor triangulated category の spectrum
- tt-category
- tt-geometry
Balmer 以前の quasicoherent sheaf の category から scheme を reconstruct する試みについては,
Brandenburg の thesis [Bra] の Introduction にまとめられている。
この構成は, 代数幾何学での scheme と 有限群の表現の support variety を統合するものになっているようである。
概要については, Balmer の ICM 2010 での解説 [Bal10b] を見るとよい。より簡潔な introduction としては
AMS Notices の2017年11月号の記事がある。 そこでは, 有限群の Burnside ring に対し Dress [Dre69]
により定義された spectrum が warm-up example として挙げられている。 他にも, Balmer による thick tensor
ideal の分類に関する survey [Bal20] や Stevenson の [Ste] などがある。
ICM の講演録の冒頭の図によると, 他にも stable homotopy theory, motivic homotopy theory,
noncommutative topology, symplectic topology という様々な分野に登場する tensor triangulated
category を調べるのに使うことを意図しているようである。
例えば, Dell’Ambrogio の [Del] は, そのアイデアを \(KK\)-theory を用いた \(C^*\)-algebra の成す triangulated
category に適用したものである。
Balmer自身, [Bal10a] で finite spectrum (安定ホモト ピー論の意味のspectrum) の安定ホモトピー圏の
spectrum (tensor triangular geometry の意味の spectrum) を決定している。 Devinatz と Hopkins
と Smith の仕事を tensor triangular geometry の言葉に翻訳しただけであるが。
有限群 \(G\) について, \(G\)-equivariant stable homotopy category の spectrum は Balmer と Sanders
の [BS] で調べられている。
Greenlees [Gre] は compact Lie 群 \(G\)に対し, rational \(G\)-equivariant stable homotopy
category の spectrum を調べている。
Dell’AmbrogioとTabuada [DT12]は, noncommutative motive の triangulated
categoryのbootstrap categoryのspectrumなどを調べている。
1元数体とfinite spectrum の stable homotopy category の関係をみるために, この Balmer
の構成を考えたのが, Anevski の [Ane] である。
実際に, 与えられた tensor triagulated category の spectrum を求めるのは容易ではないが, Balmer は
[Bal10a] で unit object の endomorphism ring の通常の spectrum との比較を行なっている。もちろん,
一般にはその写像は isomorphism にはならないが, そのアイデアを発展させて, graded 2-ring の spectrum を定義し,
それとの比較を行なおうというのが, Dell’Ambrogio と Stevenson の [DS] である。 Sanders の [San] では,
より一般の comparison map が調べられている。
Tensor triangulated category は monoidal category なので, その中の monoid object
を考えることができる。 Balmer [Bal16] は tt-category の separable commutative monoid object を
tt-ring と呼び, その module の category の spectrum と元の tt-category の spectrum
を比較している。
Balmer の [Bal14]によると, tt-ring の module の category も tt-category
の構造を持つようである。Balmer の学生の Bregjie Pauwels という人が, tt-ring に基づいた (quasi-)Galois
theory の類似を考えている。これは, この研究集会での Neeman の最後の講演で知った。彼女のホームページから preprint が
downloadできる。
Balmer の reconstruction theorem により, Noetherian scheme \(X\) は, その perfect complex
の derived category から spectrum として復元できるが, そのことから scheme に対する不変量を tensor
triangulated category の言葉で表そうとするのは, 自然はアイデアである。実際, Sebastian Klein [Kle] は, Chow
group の構成を与えている。Balmer の idea に基づくものであるらしいが。
Object だけでなく morphism も考ようというのは自然な idea である。Brandenburg は, thesis
[Bra] で morphism も reconstruct できる scheme を tensorial と呼んでいる。 そのような流れで,
Chirvasitu ら [BCb; CJ] は, symmetric closed monoidal presentable category を
commutative \(2\)-ring と呼び, tensor triangular geometry により対応する幾何学的対象を affine \(2\)-scheme
と呼んでいる。
Balmer, Krause, Stevenson [BKS] は, 代数幾何 (可換環) との類似で, localize して 局所環を作ってから
residue field を取る, という操作をするためには, 何が必要かを考察している。特に tt-geometry で体に対応するものが何か,
を考えている。
- tensor triangular field あるいは tt-field
Tensor triangular geometry での residue field の例としては, [BCa] を見るとよい。 安定ホモトピー圏の場合,
Morava \(K\)-theory が residue field として現れるようである。
Nakano, Vashaw, Yakimov [NVY] による noncommutative version も登場した。 Mallick と
Ray [MR] が point-free approach を提案している。
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