Tensor Triangular Geometry

Balmer [Bal05] は, symmetric monoidal structure を持つ triangulated category (tensor triangulated category) に対し ideal (thick \(\otimes \)-ideal) の概念を導入し, prime ideal の集合上に Zariski topology, そして structure sheaf を定義した。 この ringed space を, その tensor triangulated category の spectrum と呼び, それを調べることを tensor triangular geometry と言うらしい。 Balmer [Bal14; Bal16]は essentially small idempotent complete tensor triangulated category を tt-category と呼び, それを Balmer の spectrum を用いて調べることを tt-geometry と呼んでいる。

• tensor triangulated category の Balmer spectrum
• tt-category
• tt-geometry

Balmer 以前の quasicoherent sheaf の category から scheme を reconstruct する試みについては, Brandenburg の thesis [Bra] の Introduction にまとめられている。

• 各種 reconstruction theorem

この構成は, 代数幾何学での scheme と 有限群の表現の support variety を統合するものになっているようである。

概要については, Balmer の ICM 2010 での解説 [Bal10b] を見るとよい。より簡潔な introduction としては AMS Notices の2017年11月号の記事がある。 そこでは, 有限群の Burnside ring に対し Dress [Dre69] により定義された spectrum が warm-up example として挙げられている。 他にも, Balmer による thick tensor ideal の分類に関する survey [Bal20] や Stevenson の [Ste18] などがある。

ICM の講演録の冒頭の図によると, 他にも stable homotopy theory, motivic homotopy theory, noncommutative topology, symplectic topology という様々な分野に登場する tensor triangulated category を調べるのに使うことを意図しているようである。

具体的な tensor triangulated category としては, 以下のようなものが調べられている:

• Hopkins らの仕事は, spectrum の stable homotopy category の compact object の成す subcategory の Balmer spectrum を調べたもの, と解釈できる。 Balmer の [Bal10a] に tensor triangular geometry の言葉に翻訳したものがある。
• Balmer と Sanders の [BS17] で, 有限群 \(G\) に対する \(G\)- equivariant stable homotopy category の spectrum が調べられている。
• Greenlees [Gre19] は compact Lie 群 \(G\)に対し, rational \(G\)-equivariant stable homotopy category の Balmer spectrum を調べている。 通常の \(G\)-equivariant stable homotopy category は, Barthel, Greenlees, Hausmann [BGH20] により調べられている。
• Dell’Ambrogio と Tabuada [DT12] は, noncommutative motive の triangulated category の bootstrap category の Balmer spectrum などを調べている。
• Dell’Ambrogio の [Del10] は, \(KK\)-theory を用いた \(C^*\)-algebra の成す triangulated category を調べている。
• Boe, Kujawa, Nakano [BKN] は, quantum universal enveloping algebra の stable module category の Balmer spectrum を計算している。 その前に, [BKN17] で classical Lie superalgebra の場合を考えている。
• Gallauer [Gal18] は可換環上の filtered module の成す perfect complex の category の Balmer spectrum を計算している。
• Gallauer と de Souza [Gal19] は, ある場合の Tate motif の成す category の Balmer spectrum を計算している。

1元数体と finite spectrum の stable homotopy category の関係を Balmer spectrum を用いて考えたものとして, Anevski の [Ane] がある。

実際に, 与えられた tensor triagulated category の spectrum を求めるのは容易ではないが, Balmer は [Bal10a] で unit object の endomorphism ring の通常の spectrum との比較を行なっている。もちろん, 一般にはその写像は isomorphism にはならないが, そのアイデアを発展させて, graded 2-ring の spectrum を定義し, それとの比較を行なおうというのが, Dell’Ambrogio と Stevenson の [DS14] である。 Sanders の [San13] では, より一般の comparison map が調べられている。

Tensor triangulated category は monoidal category なので, その中の monoid object を考えることができる。 Balmer [Bal16] は tt-category の separable commutative monoid object を tt-ring と呼び, その module の category の spectrum と元の tt-category の spectrum を比較している。

• tt-ring

Balmer の [Bal14]によると, tt-ring の module の category も tt-category の構造を持つようである。Balmer の学生の Bregjie Pauwels という人が, tt-ring に基づいた (quasi-)Galois theory の類似を考えている。これは, この研究集会での Neeman の最後の講演で知った。彼女のホームページから preprint が downloadできる。

Balmer の reconstruction theorem により, Noetherian scheme \(X\) は, その perfect complex の derived category から spectrum として復元できるが, そのことから scheme に対する不変量を tensor triangulated category の言葉で表そうとするのは, 自然はアイデアである。実際, Sebastian Klein [Kle16] は, Chow group の構成を与えている。Balmer の idea に基づくものであるらしいが。

Object だけでなく morphism も考ようというのは自然な idea である。Brandenburg は, thesis [Bra] で morphism も reconstruct できる scheme を tensorial と呼んでいる。 そのような流れで, Chirvasitu ら [BC14; CJ13] は, symmetric closed monoidal presentable category を commutative \(2\)-ring と呼び, tensor triangular geometry により対応する幾何学的対象を affine \(2\)-scheme と呼んでいる。

Balmer, Krause, Stevenson [BKS19] は, 代数幾何 (可換環) との類似で, localize して 局所環を作ってから residue field を取る, という操作をするためには, 何が必要かを考察している。特に tt-geometry で体に対応するものが何か, を考えている。

• tensor triangular field あるいは tt-field

Tensor triangular geometry での residue field の例としては, [BC21] を見るとよい。 安定ホモトピー圏の場合, Morava \(K\)-theory が residue field として現れるようである。

Nakano, Vashaw, Yakimov [NVY22] による noncommutative version も登場した。 Mallick と Ray [MR] が point-free approach を提案している。

• noncommutative tensor triangular geometry

Balmer spectrm 以外にも Balchin と Stevenson [BS] による smashing spectrum や big spectrum もある。

References

[Ane]

Stella Anevski. Reconstructing the spectrum of \(\F _1\) from the stable homotopy category. arXiv: 1103.1235.

[Bal05]

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[Bal10a]

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