String group やさらにその高次化

直交群 \(\mathrm {O}(n)\) と \(\mathrm {SO}(n)\) は次の完全列を成す: \[ 1 \rarrow {} \mathrm {SO}(n) \rarrow {} \mathrm {O}(n) \rarrow {\det } \{\pm 1\} \rarrow {} 1. \] 分類空間のレベルでは, fibration \[ B\mathrm {SO}(n) \longrightarrow B\mathrm {O}(n) \rarrow {w_1} K(\Z /2\Z ,1) \] となる。\(n\ge 3\) ならば, \(\pi _1(\mathrm {SO}(n)) \cong \Z /2\Z \) なので, \(\mathrm {SO}(n)\) の double cover を \(\mathrm {Spin}(n)\) と定義すると, 次の fibration を得る: \[ \mathrm {Spin}(n) \longrightarrow \mathrm {SO}(n) \rarrow {} K(\Z /2\Z ,1). \] 分類空間のレベルでは, 次の fibration となる: \[ B\mathrm {Spin}(n) \longrightarrow B\mathrm {SO}(n) \rarrow {w_2} K(\Z /2\Z ,2). \]

有限次元単連結単純Lie群 \(G\) の一般論として \(G\) は2連結であり, \(\pi _3(G)\cong \Z \) であることはよく知られている。よって, \[ [G,K(\Z ,3)]\cong H^3(G;\Z ) \cong \Hom (H_3(G;\Z ),\Z ) \cong \Hom (\pi _3(G),\Z ) \cong \Z \] である。その生成元の homotopy fiber を \(\widetilde {G}\) と表すと, fibration \[ \widetilde {G} \longrightarrow G \longrightarrow K(\Z ,3) \] を得る。この \(\widetilde {G}\) を \(G\) の string group と呼ぶようである。 特に, \(G=\Spin (n)\) のときは, \(\mathrm {String}(n)\) と書かれ, 単に string group と呼べば, これを指すようである。

名前は “string group” であるが, このようなホモトピー論的な構成では位相群として構成するのは難しい。 Hopf 空間の構造を持つことは, すぐに分かるが。

そこで, 様々な人が, \(\mathrm {String}(n)\) の構成を考えている。C.L. Douglas と Henriques と Hill の [DHH11] や Schommer-Pries の [Sch11] などに書いてあるが, まだまだ他にもありそうである。

この Oberwolfach のレポートも見るとよい。

Waldorf [Walb]は, 多様体 \(M\) がstring structure を持つことと, その free loop space \(LM\) が spin structure を持つことが, 同値になるように free loop space の spin structure を定義している。

Satiと Schreiber と Stasheff の [SSS12] によると, string structure の次の段階, fivebrane structure を表わす \(\mathrm {Fivebrane}(n)\) は “smooth 6-group” として実現するのがよいらしい。

より高次の connective cover も考えられている。Sati の [Sat] など。 それらも, 無限次元Lie群高次のLie 群として構成できるのだろうか。

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