String group やさらにその高次化

直交群 \(\mathrm{O}(n)\) と \(\mathrm{SO}(n)\) は次の完全列を成す: \[ 1 \rarrow{} \mathrm{SO}(n) \rarrow{} \mathrm{O}(n) \rarrow{\det } \{\pm 1\} \rarrow{} 1. \] 分類空間のレベルでは, fibration \[ B\mathrm{SO}(n) \longrightarrow B\mathrm{O}(n) \rarrow{w_1} K(\Z /2\Z ,1) \] となる。\(n\ge 3\) ならば, \(\pi _1(\mathrm{SO}(n)) \cong \Z /2\Z \) なので, \(\mathrm{SO}(n)\) の double cover を \(\mathrm{Spin}(n)\) と定義すると, 次の fibration を得る: \[ \mathrm{Spin}(n) \longrightarrow \mathrm{SO}(n) \rarrow{} K(\Z /2\Z ,1). \] 分類空間のレベルでは, 次の fibration となる: \[ B\mathrm{Spin}(n) \longrightarrow B\mathrm{SO}(n) \rarrow{w_2} K(\Z /2\Z ,2). \]

有限次元単連結単純Lie群 \(G\) の一般論として \(G\) は2連結であり, \(\pi _3(G)\cong \Z \) であることはよく知られている。よって, \[ [G,K(\Z ,3)]\cong H^3(G;\Z ) \cong \Hom (H_3(G;\Z ),\Z ) \cong \Hom (\pi _3(G),\Z ) \cong \Z \] である。その生成元の homotopy fiber を \(\widetilde{G}\) と表すと, fibration \[ \widetilde{G} \longrightarrow G \longrightarrow K(\Z ,3) \] を得る。この \(\widetilde{G}\) を \(G\) の string group と呼ぶようである。 特に, \(G=\Spin (n)\) のときは, \(\mathrm{String}(n)\) と書かれ, 単に string group と呼べば, これを指すようである。

名前は “string group” であるが, このようなホモトピー論的な構成では位相群として構成するのは難しい。 Hopf 空間の構造を持つことは, すぐに分かるが。

そこで, 様々な人が, \(\mathrm{String}(n)\) の構成を考えている。C.L. Douglas と Henriques と Hill の [DHH11] や Schommer-Pries の [Sch11] などに書いてあるが, まだまだ他にもありそうである。

• Brylinski と McLaughlin の [BM94]
• Stolz の [Sto96]
• Ando と Hopkins と Strickland の [AHS04]
• Stolz と Teichner の [ST04]
• Baez, Crans, Stevenson, Schreiber の [Bae+07]
• Jurco の [Jur]
• Henriques の [Hen08]
• Schommer-Pries の Lie groupoid と bibundle の成す bicategory での \(2\)-group としての構成 [Sch11]
• Nikolaus, Sachse, Wockel の無限次元Lie群, そして Lie \(2\)-group としての構成 [NSW]
• Waldorf の finite dimensional Lie \(2\)-group あるいは strict diffeological \(2\)-group としての構成 [Wala]
• Murray, Roberts, Wockel の free loop space を用いた構成 [MRW]

この Oberwolfach のレポートも見るとよい。

Waldorf [Walb]は, 多様体 \(M\) がstring structure を持つことと, その free loop space \(LM\) が spin structure を持つことが, 同値になるように free loop space の spin structure を定義している。

Satiと Schreiber と Stasheff の [SSS] によると, string structure の次の段階, fivebrane structure を表わす \(\mathrm{Fivebrane}(n)\) は “smooth 6-group” として実現するのがよいらしい。

より高次の connective cover も考えられている。Sati の [Sat] など。 それらも, 無限次元Lie群や 高次のLie 群として構成できるのだろうか。

References

[AHS04]

Matthew Ando, Michael J. Hopkins, and Neil P. Strickland. “The sigma orientation is an \(H_{\infty }\) map”. In: Amer. J. Math. 126.2 (2004), pp. 247–334. arXiv: math/0204053. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v126/126.2ando.pdf.

[Bae+07]

John C. Baez, Danny Stevenson, Alissa S. Crans, and Urs Schreiber. “From loop groups to 2-groups”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 101–135. arXiv: math/0504123. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127333.

[BM94]

J.-L. Brylinski and D. A. McLaughlin. “The geometry of degree-four characteristic classes and of line bundles on loop spaces. I”. In: Duke Math. J. 75.3 (1994), pp. 603–638. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-94-07518-2.

[DHH11]

Christopher L. Douglas, André G. Henriques, and Michael A. Hill. “Homological obstructions to string orientations”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 18 (2011), pp. 4074–4088. arXiv: 0810.2131. url: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnq237.

[Hen08]

André Henriques. “Integrating \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Compos. Math. 144.4 (2008), pp. 1017–1045. arXiv: math/0603563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003405.

[Jur]

Branislav Jurco. Crossed Module Bundle Gerbes; Classification, String Group and Differential Geometry. arXiv: math/0510078.

[MRW]

Michael Murray, David Michael Roberts, and Christoph Wockel. Quasi-periodic paths and a string 2-group model from the free loop group. arXiv: 1702.01514.

[NSW]

Thomas Nikolaus, Christoph Sachse, and Christoph Wockel. A Smooth Model for the String Group. arXiv: 1104.4288.

[Sat]

Hisham Sati. Ninebrane structures. arXiv: 1405.7686.

[Sch11]

Christopher J. Schommer-Pries. “Central extensions of smooth 2-groups and a finite-dimensional string 2-group”. In: Geom. Topol. 15.2 (2011), pp. 609–676. arXiv: 0911.2483. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2011.15.609.

[SSS]

Hisham Sati, Urs Schreiber, and Jim Stasheff. Twisted differential String and Fivebrane structures. arXiv: 0910.4001.

[ST04]

Stephan Stolz and Peter Teichner. “What is an elliptic object?” In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 247–343.

[Sto96]

Stephan Stolz. “A conjecture concerning positive Ricci curvature and the Witten genus”. In: Math. Ann. 304.4 (1996), pp. 785–800. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01446319.

[Wala]

Konrad Waldorf. A Construction of String 2-Group Models using a Transgression-Regression Technique. arXiv: 1201.5052.

[Walb]

Konrad Waldorf. Spin structures on loop spaces that characterize string manifolds. arXiv: 1209.1731.