Stratified space や filtered space のホモトピー論

トポロジーが生れたときから, 多様体は中心的な研究対象だった。 多様体でない空間に対しても, 多様体の持つ性質がどれだけ成り立つかを考えるのは自然だろう。 そのようなものとして, stratified space の概念がある。

• filtered spaceとstratified space のトポロジー

Goresky と MacPherson [GM80; GM83] により導入された intersection homology の理論は, 多様体ではない空間に対し Poincaré duality を用いたい, という欲求から導入されたものである。

• intersection homology

その後, filtered space, もしくは stratified space の理論は大きく進歩している。 ホモトピー群など, ホモトピー論の道具の類似も導入されている。

ホモトピー群については, Gajer により [Gaj96] で定義された intersection homotopy group があるが, それが適当なものかどうか, よく分からない。

• intersection homotopy group

基本群については, Treumann [Tre09] や Woolf [Woo09] のように, 通常の空間ではgroupoid を考えるところをsmall category に弱めるのが正解かもしれない。となると, 高次ホモトピー群はどのように考えればよいのだろうか。と, 思っていたら Woolf の [Woo10] が出た。 高次ホモトピー群も transversality を用いて transversal homotopy monoid として定義されている。

• fundamental category
• transversal homotopy monoid

具体例としては, 複素射影空間の transversal homotopy monoid を調べた Smyth の[Smy]がある。

Gajer の intersection homotopy group と Woolf の transversal homotopy monoid の関係はどうなっているのだろうか。

Intersection homology の視点から stratified space のホモトピー論を考えたものとしては, Banagl の [Ban10] などがある。 Stratified pseudomanifold \(X\) と perversity \(p\) に対し, Poincaré duality をみたす空間 \(I^{p}X\) を構成している。 そのホモロジーが intersection homology と一致するわけではないようであるが, この構成を使えば, 位相空間のホモトピー論の道具が stratified pseudomanifold を調べるのに使えるようになる。

Quinn の homotopically stratified space [Qui88] に基づいたもの としては, David Miller の [Mil13] や, Nand-Lal の thesis [Nan19] がある。

• homotopically stratified space

Treumann の [Tre09] は, MacPherson による exit-path category というアイデアに基いていて, \(2\)-category として定義しているが, それを \(\infty \)-category に拡張したものとして, Lurie の Higher Algebra [Lur] の Appendix A がある。特に A.5 と A.6 が基本だと思う。

• exit-path category

これは, ある条件をみたす stratified space に対し exit-path category という quasicategory を定義するものであるが, stratified space に対する singular simplicial set と考えることもできる。

そして, Ayala と Francis ら [AFT17b; AFT17a; AFR19] により, topological quantum field theory や factorization homology の視点から stratified space の理論が, \((\infty ,1)\)-category を用いて構築されている。 Barwick ら [BGH] や Haine [Hai] によるものもある。

• \((\infty ,1)\)-category of stratified spaces

Stratified space のホモトピー論のアイデアとして, Douteau の [Dou21] もある。そこでは, poset 上の simplicial set の category を使うことが提案されている。 Waas の [Waac] によると, 同様のアプローチは, 独立に Henriques によっても考えられたようである。

以上のような, 現代的な stratified space の homotopy theory の関係については, Waas の [Waac] の Introduction にまとめられているので, まずはそれを読むのが良いと思う。

Waas 自身は, 一連の論文 [Waaa; Waab; Waac] で, semimodel structure を使うことを提案している。

更に別のアプローチとしては, Tetik [Tet; Tet24] による linked space という span を用いたものがある。

• linked space

References

[AFR19]

David Ayala, John Francis, and Nick Rozenblyum. “A stratified homotopy hypothesis”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 21.4 (2019), pp. 1071–1178. arXiv: 1502.01713. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/856.

[AFT17a]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. “Factorization homology of stratified spaces”. In: Selecta Math. (N.S.) 23.1 (2017), pp. 293–362. arXiv: 1409.0848. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-016-0242-1.

[AFT17b]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. “Local structures on stratified spaces”. In: Adv. Math. 307 (2017), pp. 903–1028. arXiv: 1409.0501. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2016.11.032.

[Ban10]

Markus Banagl. Intersection spaces, spatial homology truncation, and string theory. Vol. 1997. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xvi+217. isbn: 978-3-642-12588-1. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12589-8.

[BGH]

Clark Barwick, Saul Glasman, and Peter Haine. Exodromy. arXiv: 1807.03281.

[Dou21]

Sylvain Douteau. “A simplicial approach to stratified homotopy theory”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 374.2 (2021), pp. 955–1006. arXiv: 1801.04797. url: https://doi.org/10.1090/tran/8264.

[Gaj96]

Paweł Gajer. “The intersection Dold-Thom theorem”. In: Topology 35.4 (1996), pp. 939–967. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(95)00053-4.

[GM80]

Mark Goresky and Robert MacPherson. “Intersection homology theory”. In: Topology 19.2 (1980), pp. 135–162. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90003-8.

[GM83]

Mark Goresky and Robert MacPherson. “Intersection homology. II”. In: Invent. Math. 72.1 (1983), pp. 77–129. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389130.

[Hai]

Peter J. Haine. On the homotopy theory of stratified spaces. arXiv: 1811.01119.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Mil13]

David A. Miller. “Strongly stratified homotopy theory”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 365.9 (2013), pp. 4933–4962. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2013-05795-9.

[Nan19]

Stephen James Nand-Lal. A Simplicial Approach to Stratified Homotopy Theory. Thesis (Ph.D.)–The University of Liverpool (United Kingdom). ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2019, p. 175. isbn: 979-8664-77266-1.

[Qui88]

Frank Quinn. “Homotopically stratified sets”. In: J. Amer. Math. Soc. 1.2 (1988), pp. 441–499. url: http://dx.doi.org/10.2307/1990924.

[Smy]

Conor Smyth. Transversal Homotopy Monoids of Complex Projective Space. arXiv: 1104.1325.

[Tet]

Ödül Tetik. Linked spaces and exit paths. arXiv: 2301.02063.

[Tet24]

Ödül Tetik. “Towards Linked Topology”. PhD thesis. Universitaät Zürich, 2024. url: https://user.math.uzh.ch/cattaneo/tetik.pdf.

[Tre09]

David Treumann. “Exit paths and constructible stacks”. In: Compos. Math. 145.6 (2009), pp. 1504–1532. arXiv: 0708 . 0659. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X09004229.

[Waaa]

Lukas Waas. Combinatorial models for stratified homotopy theory. arXiv: 2403.06280.

[Waab]

Lukas Waas. On the homotopy links of stratified cell complexes. arXiv: 2403.06272.

[Waac]

Lukas Waas. Presenting the topological stratified homotopy hypothesis. arXiv: 2403.07686.

[Woo09]

Jon Woolf. “The fundamental category of a stratified space”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 359–387. arXiv: 0811. 2580.

[Woo10]

Jonathan Woolf. “Transversal homotopy theory”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 7, 148–178. eprint: \href{http://arxiv.org/abs/0910.3322}{arXiv:0910.3322}.