トポロジーが生れたときから, 多様体は中心的な研究対象だった。 多様体でない空間に対しても, 多様体の持つ性質がどれだけ成り立つかを考えるのは自然だろう。
そのようなものとして, stratified space の概念がある。
Goresky と MacPherson [GM80; GM83] により導入された intersection homology の理論は,
多様体ではない空間に対し Poincaré duality を用いたい, という欲求から導入されたものである。
その後, filtered space, もしくは stratified space の理論は大きく進歩している。 ホモトピー群など,
ホモトピー論の道具の類似も導入されている。
ホモトピー群については, Gajer により [Gaj96] で定義された intersection homotopy group があるが,
それが適当なものかどうか, よく分からない。
基本群については, Treumann [Tre09] や Woolf [Woo09] のように, 通常の空間ではgroupoid
を考えるところをsmall category に弱めるのが正解かもしれない。となると, 高次ホモトピー群はどのように考えればよいのだろうか。と,
思っていたら Woolf の [Woo10] が出た。 高次ホモトピー群も transversality を用いて transversal homotopy
monoid として定義されている。
具体例としては, 複素射影空間の transversal homotopy monoid を調べた Smyth の[Smy]がある。
Gajer の intersection homotopy group と Woolf の transversal homotopy monoid
の関係はどうなっているのだろうか。
Treumann の [Tre09] は, MacPherson による exit-path category というアイデアに基いていて,
\(2\)-category として定義しているが, それを \(\infty \)-category に拡張したものとして, Lurie の Higher Algebra [Lur] の
Appendix A がある。特に A.5 と A.6 が基本だと思う。
これは, ある条件をみたす stratified space に対し exit-path category という quasicategory
を定義するものであるが, stratified space に対する singular simplicial set と考えることもできる。
そして, Ayalaと Francisら [AFT17b; AFT17a; AFR] により, topological quantum
field theory や factorization homology の視点から stratified space の理論が, \((\infty ,1)\)-category
を用いて構築されている。 Barwick ら [BGH] や Haine [Hai] によるものもある。
- \((\infty ,1)\)-category of stratified spaces
Banagl は, Poincaré duality の視点から, stratified space のホモトピー論を考えている。[Ban10] など。
Stratified pseudomanifold \(X\) と perversity \(p\) に対し, Poincaré duality をみたす空間 \(I^{p}X\) を構成している。
そのホモロジーが intersection homology と一致するわけではないようであるが, この構成を使えば, 位相空間のホモトピー論の道具が
stratified pseudomanifold を調べるのに使えるようになる。
Stratified space のホモトピー論のアイデアとして, 他にも Douteau の [Dou21] がある。そこでは, poset 上の
simplicial set の category を使うことが提案されている。
References
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[Woo10]
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\href{http://arxiv.org/abs/0910.3322}{arXiv:0910.3322}.
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