集合と論理

代数的トポロジーでは, 圏や関手の言葉をよく使う。 その際, 「位相空間全体」などは, 集合にはならないことを頭に入れておくべきである。 また自分の数学が依拠しているところを確認する意味でも, 一度は集合論の公理系を見ておくべきだろう。 もちろん, 数学の基本として集合や写像に関する操作に慣れておくことも重要である。

集合と論理は数学の基礎であり, 数多くの本が出版されている。 私が学生のときは [松坂和68]で勉強した。Hirschhorn の model category の本 [Hir03] には, [Cie97; Dug78; Ham82] が推薦してある。 圏論のための集合論としては, Shulman の解説 [Shu] がある。 Lawvere と Rosebrugh の [LR03] という本もある。 日本語では, 浅芝さんの本 [浅芝秀19] が, universe について詳しく書かれているので良いと思う。 より初等的な日本語の本としては, [田鈴03] がある。 この本は歴史的な経緯も含めて書いてあり, 学部生が自習するのによいと思う。

更に, 現代ホモトピー論の基礎とも言うべき model category の理論では, 順序数 (ordinal) や超限帰納法が必要になる。 集合の濃度も正確には順序数を用いて定義する。

最近, model categoryの理論では, Vopenka’s principle という仮定が鍵を握っていることが分ってきた。

  • Vopenka’s principle

Combinatorial model categorycofibrantly generated model category がどれぐらい違うかとか, 任意のコホモロジー論に対する localization の存在, そして任意の homotopy idempotent functor が, ある morphism に関する localization として表わせるか, などといった問題と関係がある。

Vopenka’s priciple については, [Bag+] では, Adamek と Rosicky の本 [AR94] や Jech の本 [Jec03] が参照されている。

逆に, 集合論のための model category を構成しようというのが, Gavrilovich と Hasson の [HG; GH] である。

論理の構造そのものを研究する数理論理学という分野もある。 圏論が積極的に使われているし, 最近ではmodel category も使われるようになってきている。

References

[AR94]

Jiřı́ Adámek and Jiřı́ Rosický. Locally presentable and accessible categories. Vol. 189. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+316. isbn: 0-521-42261-2. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511600579.

[Bag+]

Joan Bagaria, Carles Casacuberta, A. R. D. Mathias, and Jiri Rosicky. Definable orthogonality classes in accessible categories are small. arXiv: 1101.2792.

[Cie97]

Krzysztof Ciesielski. Set theory for the working mathematician. Vol. 39. London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge, 1997, pp. xii+236. isbn: 0-521-59441-3; 0-521-59465-0. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781139173131.

[Dug78]

James Dugundji. Topology. Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., 1978, p. xv 447. isbn: 0-205-00271-4.

[GH]

Misha Gavrilovich and Assaf Hasson. Exercices de style: A homotopy theory for set theory II. arXiv: 1204.6228.

[Ham82]

A. G. Hamilton. Numbers, sets and axioms. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. ix 255. isbn: 0-521-24509-5; 0-521-28761-8.

[HG]

Assaf Hasson and Misha Gavrilovich. Exercices de style: a homotopy theory for set theory, I. arXiv: 1102.5562.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4. url: https://doi.org/10.1090/surv/099.

[Jec03]

Thomas Jech. Set theory. Springer Monographs in Mathematics. The third millennium edition, revised and expanded. Springer-Verlag, Berlin, 2003, pp. xiv+769. isbn: 3-540-44085-2.

[LR03]

F. William Lawvere and Robert Rosebrugh. Sets for mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. xiv+261. isbn: 0-521-80444-2; 0-521-01060-8. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511755460.

[Shu]

Michael A. Shulman. Set theory for category theory. arXiv: 0810.1279.

[松坂和68]

松坂和夫. 集合・位相入門. 東京: 岩波書店, 1968, pp. x+329.

[浅芝秀19]

浅芝秀人. 圏と表現論. 2-圏論的被覆理論を中心に. Vol. 155. SGCライブラリ. サイエンス社, 2019, p. 248.

[田鈴03]

田中一之 and 鈴木登志雄. 数学のロジックと集合論. 東京: 培風館, 2003, p. 230.