Semirings and Semimodules

Semiring とは, 環の定義で加法に関する逆元の存在を仮定しないものである。 Abelian monoid の圏の monoid object と思ってもよい。

Trimble ら [LT23; BMT24] のように, rig と呼ぶ人もいる。彼等は, semiring の構造を category 化したものを \(2\)-rig と呼び, 調べている。Biproduct を持つ symmetric monoidal category で idempotent complete なもののことである。直和を和とし, monoidal structure を積とみなすわけである。

• \(2\)-rig

Semiring があれば, その上のmoduleも考えられる。 Abuhlail [Abu14a; Abu14b] によると, semimodules の理論は, 主に M. Takahashi [Tak79; Tak81; Tak82a; Tak82b; Tak82c; Tak85] により基礎付けがされたようである。

参考になる文献としては, [CGQ], [Gła02], [Isé58] などがある。

例としては, 次のようなものがある。

• tropical semiring
• exploded semiring [Par15]
• Boolean semiring [DHN]
• arithmetical semiring [Ald]

Abuhlail [Abu14a; Abu] は, semiring 上の semimodule に対し, homological algebra を展開しようとしている。 Projective semimodule については Macpherson [Mac] が, injective semimodule については Abuhlail と Noegraha [AN22] が調べている。

Abuhlail と Al-Sulaiman [AA15] は, bialgebra や Hopf algebra の類似として, bisemialgebra や Hopf-semialgebra を導入し調べている。

Banagl [Ban15] は semiring や semimodule, そして Eilenberg [Eil74] により導入されたそれらの complete 版を使って, topological field theory を定式化することを考えている。

References

[AA15]

Jawad Y. Abuhlail and Nabeela Al-Sulaiman. “Hopf semialgebras”. In: Comm. Algebra 43.3 (2015), pp. 1241–1278. arXiv: 1304.6042. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2013.851205.

[Abu]

Jawad Abuhlail. Uniformly Flat Semimodules. arXiv: 1201.0591.

[Abu14a]

Jawad Y. Abuhlail. “Exact sequences of commutative monoids and semimodules”. In: Homology Homotopy Appl. 16.1 (2014), pp. 199–214. arXiv: 1111.0330. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n1.a12.

[Abu14b]

Jawad Y. Abuhlail. “Exact sequences of commutative monoids and semimodules”. In: Homology Homotopy Appl. 16.1 (2014), pp. 199–214. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n1.a12.

[Ald]

Marco Aldi. Arithmetical Semirings. arXiv: 1605.08640.

[AN22]

Jawad Abuhlail and Rangga Ganzar Noegraha. “Injective semimodules—revisited”. In: J. Algebra Appl. 21.1 (2022), Paper No. 2250242, 28. arXiv: 1904.07708. url: https://doi.org/10.1142/S0219498822502425.

[Ban15]

Markus Banagl. “Positive topological quantum field theories”. In: Quantum Topol. 6.4 (2015), pp. 609–706. arXiv: 1303.4276. url: https://doi.org/10.4171/QT/71.

[BMT24]

John C. Baez, Joe Moeller, and Todd Trimble. “Schur functors and categorified plethysm”. In: High. Struct. 8.1 (2024), pp. 1–53. arXiv: 2106.00190.

[CGQ]

Guy Cohen, Stephane Gaubert, and Jean-Pierre Quadrat. Duality and separation theorems in idempotent semimodules. arXiv: math/0212294.

[DHN]

Maël Denys, Márton Hablicsek, and Giacomo Negrisolo. Non-Noetherian representation categories of generalized fields. arXiv: 2006.05157.

[Eil74]

Samuel Eilenberg. Automata, languages, and machines. Vol. A. Pure and Applied Mathematics, Vol. 58. Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York, 1974, pp. xvi+451.

[Gła02]

Kazimierz Głazek. A guide to the literature on semirings and their applications in mathematics and information sciences. With complete bibliography. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002, pp. viii+392. isbn: 1-4020-0717-5. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-94-015-9964-1.

[Isé58]

Kiyoshi Iséki. “On ideals in semiring”. In: Proc. Japan Acad. 34 (1958), pp. 507–509.

[LT23]

Fosco Loregian and Todd Trimble. “Differential 2-rigs”. In: Proceedings—Fifth International Conference on Applied Category Theory. Vol. 380. Electron. Proc. Theor. Comput. Sci. (EPTCS). EPTCS, [place of publication not identified], 2023, pp. 159–182. arXiv: 2103.00938.

[Mac]

Andrew W. Macpherson. Projective modules over polyhedral semirings. arXiv: 1507.07213.

[Par15]

Brett Parker. “Holomorphic curves in exploded manifolds: compactness”. In: Adv. Math. 283 (2015), pp. 377–457. arXiv: 0706.3917. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.07.011.

[Tak79]

Michihiro Takahashi. “A bordism category for the ordinary homology theory”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 7.3 (1979), pp. 547–572.

[Tak81]

Michihiro Takahashi. “On the bordism categories. II. Elementary properties of semimodules”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 9.2 (1981), pp. 495–530.

[Tak82a]

Michihiro Takahashi. “Completeness and \(C\)-cocompleteness of the category of semimodules”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 10.2 (1982), pp. 551–562.

[Tak82b]

Michihiro Takahashi. “Extensions of semimodules. I”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 10.2 (1982), pp. 563–592.

[Tak82c]

Michihiro Takahashi. “On the bordism categories. III. Functors Hom and \(\otimes \) for semimodules”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 10.1 (1982), pp. 211–236.

[Tak85]

Michihiro Takahashi. “On semimodules. III. Cyclic semimodules”. In: Kobe J. Math. 2.2 (1985), pp. 131–141.