Right-angled Artin Group

グラフ \(G\) に対し, 各頂点を生成元とし, 辺で繋がっている頂点どうしは可換という関係を入れることで, 群 \(A(G)\) を定義することができる。 Right-angled Artin group とか graph group とか呼ばれる。Kapovich [Kap12] は RAAG と省略している。 辺が増えれば増える程可換性が増すので, 頂点集合で生成された自由群と自由 Abel 群の間にある群と考えることができる。

Droms の [Dro87c] や Bestvina と Brady の [BB97] を見るとよい。Charney の解説 [Cha07] もある。 最近のものでは, Koberda によるグラフの組み合せ論と RAAG の代数的性質の関係に関する survey [Kob] もある。

Charney によると, 最初に考えたのは Baudisch [Bau81] であり, その後 Droms が調べたらしい。 Droms の結果として, RAAG が, 3次元多様体の基本群になっている必要十分条件を求めた [Dro87a] がある。

Crisp と Sageev と Sapir の [CSS08] の最初にいくつかの性質が書いてある:

• \(A(G)\cong A(H)\) であるのは \(G\cong H\) の場合に限る
• \(A(G)\) は biautomatic
• \(G\) が長さ \(5\)以上の穴を持てば, \(A(G)\) は hyperbolic surface group を部分群として持つ
• 十分大きな \(n\) をとれば, \(\SL _n(\Z )\) に埋め込むことができる

Metaftsis と Raptis の [MR08] によると, right-angled Artin group が linear であるというのは, Humphries [Hum94] の結果であり, \(\Z \)-linear であるというのは, Hsu と Wise [HW99], そして K.S. Brown [Bro98] の結果らしい。また residually finite であるというのは, E.R. Green の thesis にある結果のようである。

これらの文献では, 群の“graph product”という用語もよく使われる。 Free product にグラフの辺で結ばれているときに可換性の relation を入れたもの, という意味である。

Papadima と Suciu [PS09] によると, right-angled Artin group が同型ならば graph が同型であるというのは, Droms の結果 [Dro87b] らしい。

Right-angled Artin group から \(\Z \) への自然な準同型の kernel は Bestvina-Brady group と呼ばれている。

• Bestvina-Brady group

Papadima と Suciu は, Bestvina-Brady group の一般化として, right-angled Artin group から \(\Z \) への任意の全射準同型の kernel を考えている。 彼等は Artin kernel と呼んでいる。

• Artin kernel

Metaftsis と Raptis は [MR08] で right-angled Artin group の profinite topology を調べ, それによりいくつかの性質を導き出している。

Daniel Cohen と Pruidze [CP08] は, right-angled Artin group の 分類空間の topological complexity を調べている。

Right-angled Artin group の分類空間のモデルとしては, Salvetti complex と呼ばれるものがある。Braid群の場合の braid arrangement の Salvetti complex からの類推で命名されたのだろう。元になるグラフから, 具体的な構成で作られる cubical complex である。 Charney と Davis [CD95] により \(K(\pi ,1)\) であることが示されている。

• right-angled Artin group の Salvetti complex

Random graph の right-angled Artin group のトポロジカルな性質を調べているのは, Costa と Farber [CF11] である。

群ではなくmonoidを考えることもできる。 [BI15] など。

Right-angled Artin group に密接に関係した群として, right-angled Coxeter group がある。 グラフからできる群としては, 他にもグラフの braid群などがある。

• right-angled Coxeter group
• グラフの braid群

Sabalka は, [Sab07] で, right-angled Artin group のグラフの braid 群への埋め込みを与えている。Davis と Januszkiewicz は [DJ00] で, right-angled Artin group は right-angled Coxeter group へ finite index subgroup として埋め込めることを示している。

Kapovich [Kap12] は, finite graph の right-angled Artin group は, symplectic manifold の Hamiltonian symplectomorphism の成す群に埋め込めることを示している。

Clay と Leininger と Mangahas [CLM12] は, right-angled Artin group の mapping class group への quasi-isometric embedding を調べている。その類似として, 自由群の outer automorphism への quasi-isometric embedding を調べているのは, S.J. Taylor [Tay15] である。

辺が無いグラフの right-angled Artin group は自由群なので, 自由群に関することを right-angled Artin group に一般化することも考えられる。 例えば, Charney と Stambaugh と Vogtmann [CSV17] は, Cullar と Vogtmann の outer space の構成を right-angled Artin group に一般化している。

• right-angled Artin group の outer automorphism の outer space

References

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