Symplectomorphism and Symplectomorphism Group

Symplectic 多様体の「自己同型写像」にあたるのが symplectomorphism である。

• symplectomorphism (あるいは symplectic automorphism)

Symplectomorphism に関連した有名な話題として, Arnold conjecture がある。

• Hamiltonian symplectomorphism
• Arnold conjecture

Arnold conjecture がどういうものかについては, 例えば Dimitroglou Rizell と Golovko の [DG17] の Introduction を見るとよい。 そこでは, Arnold の [Arn89] の Appendix 9 と [Arn04] の284ページが参照されている。

ホモトピー論との関係では, Morava \(K\)-theory を用いた Abouzaid と Blumberg の [AB] が興味深い。このようなところに, Morava \(K\)-theory が使えるというのは, 驚きである。

Symplectomorphism を集めると, 当然群になる。

• symplectic automorphism の成す群 \(\mathrm{Aut}(M,\omega )\)
• symplectic mapping class group \(\pi _0(\mathrm{Aut}(M,\omega ))\)

\(\mathrm{Aut}(M,\omega )\) は, \(C^{\infty }\)-topology で無限次元の Lie 群とみなすことができる。\(H^1(M;\R )\neq 0\) のときは, Hamiltonian topology というものを考えた方がいいようであるが。

\(\dim M = 2\) のときは symplectic mapping class group は, 通常の mapping class group と一致する。次の Moser の Lemma と呼ばれる結果から従う。

• \(\dim M=2\) の symplectic 多様体 \((M,\omega )\) に対し, \(\mathrm{Aut}(M,\omega )\) は \(\mathrm{Diff}^{+}(M)\) の deformation retract である。

\(4\)次元の場合, \(\mathrm{Diff}^+(M)\) はよく分かっていないにもかかわらず, Gromov は pseudo-holomorphic curve のテクニックを開発し, \(\mathrm{Aut}(M,\omega )\) について各種の結果を得ている。

• \(\mathrm{Aut}(\CP ^2) \simeq \mathrm{PU}(3)\)
• monotone symplectic structure について, \(\mathrm{Aut}(S^2\times S^2) \simeq (\mathrm{SO}(3)\times \mathrm{SO}(3))\rtimes \Z /2\Z \)
• monotone symplectic structure について \(\mathrm{Aut}(\CP ^2\#\overline{\CP ^2}) \simeq U(2)\)

その後の\(4\)次元多様体についての \(\mathrm{Aut}(M,\omega )\) の研究の進展については, [Sei08] の introduction に簡単に書いてある。 そのホモトピー型について, Kedra と McDuff の [KM05] という結果がある。

\(S^2\times S^2\) 上の様々な symplectic structure (より正確には rational ruled surface) に関する symplectomorphism group については, Abreu と Granja と Kitchloo が [AGK09] で調べている。

\(\mathrm{Aut}(M,\omega )\) の基本群については, \(M\) への \(S^1\)-action との関連が考えられるが, Kedra は [Ked] で symplectic な \(S^1\)-action を持たないにもかかわらず, \(\pi _1(\mathrm{Aut}(M,\omega ))\) が自明ではない例を挙げている。

Blow up をした時の \(\mathrm{Aut}(M,\omega )\) への影響については, McDuff の [McD08] で調べられている。

グラフの right-angled Artin group との関係については, Kapovich [Kap12] が調べている。

References

[AB]

Mohammed Abouzaid and Andrew J. Blumberg. Arnold Conjecture and Morava \(K\)-theory. arXiv: 2103.01507.

[AGK09]

Miguel Abreu, Gustavo Granja, and Nitu Kitchloo. “Compatible complex structures on symplectic rational ruled surfaces”. In: Duke Math. J. 148.3 (2009), pp. 539–600. arXiv: math/0610436. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2009-033.

[Arn04]

Vladimir I. Arnold. Arnold’s problems. Translated and revised edition of the 2000 Russian original, With a preface by V. Philippov, A. Yakivchik and M. Peters. Springer-Verlag, Berlin; PHASIS, Moscow, 2004, pp. xvi+639. isbn: 3-540-20614-0.

[Arn89]

V. I. Arnol\('\)d. Mathematical methods of classical mechanics. Second. Vol. 60. Graduate Texts in Mathematics. Translated from the Russian by K. Vogtmann and A. Weinstein. Springer-Verlag, New York, 1989, pp. xvi+508. isbn: 0-387-96890-3. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2063-1.

[DG17]

Georgios Dimitroglou Rizell and Roman Golovko. “The number of Hamiltonian fixed points on symplectically aspherical manifolds”. In: Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2016. Gökova Geometry/Topology Conference (GGT), Gökova, 2017, pp. 138–150. arXiv: 1609.04776.

[Kap12]

Michael Kapovich. “RAAGs in Ham”. In: Geom. Funct. Anal. 22.3 (2012), pp. 733–755. arXiv: 1104.0348. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-012-0180-9.

[Ked]

Jarek Kedra. Fundamental group of \(\mathrm{Symp}(M,w)\) with no circle action. arXiv: math/0502210.

[KM05]

Jarek Kȩdra and Dusa McDuff. “Homotopy properties of Hamiltonian group actions”. In: Geom. Topol. 9 (2005), pp. 121–162. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.121.

[McD08]

Dusa McDuff. “The symplectomorphism group of a blow up”. In: Geom. Dedicata 132 (2008), pp. 1–29. arXiv: math/0610142. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-007-9175-3.

[Sei08]

Paul Seidel. “Lectures on four-dimensional Dehn twists”. In: Symplectic 4-manifolds and algebraic surfaces. Vol. 1938. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2008, pp. 231–267. arXiv: math/0309012. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-78279-7_4.