Quillenのplus construction

Quillen [Qui71] は, 環の高次の代数的\(K\)理論を定義するために, plus construction という 空間 (CW複体) に対する構成を用いた。 ホモロジーを変えずに, 基本群の perfect normal subgroup を消す操作である。

大抵の文献では (このページでも), Quillen の plus construction と呼ばれているので, Quillen が考えたものだと思っていたのだが, Dranishinikov の [Dra] によると, 最初に考えたのは Kervaire [Ker69] らしい。

いくつか構成方法があり, 例えば Weibel の本 [Wei13] の Chapter IV §1 の Construction 1.9 には次の方法が挙げられている:

• 2-cell と 3-cell を貼り付ける。
• \(\Z \) に関する Bousfield-Kan completion を使う。
• homotopy theoretic group completion による。
• simplicial ring としての resolution を使う。 (Swan の [Swa68])
• Volodin の構成。(Volodin の [Vol71] や Suslin と Wodzickiの [SW92])

Berrick [Ber82] は, fibration が plus construction で保たれるための条件を考えるために, fiberwise plus construction を導入した。

• fiberwise plus construction

他にもいくつかの拡張, あるいは変種が得られている。Pirashvili の [Pir86], Levi の [Lev95], Livernet の [Liv99] などである。Ye の [Ye12; Ye13] は Bousfield localization も含むものになっている。

Levin [Lev] の Proposition 4.4 は, perfect でなくても, 基本群全体ならホモロジーを変えずに消すことができる, と言っている。 Dranishinikov の [Dra] はその紹介であるが, それを書いた理由は, 「多くの algebraic topologist が Levin の結果を信じないから」だという。 本当なのだろうか?

References

[Ber82]

A. J. Berrick. “The plus-construction and fibrations”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 33.130 (1982), pp. 149–157. url: https://doi.org/10.1093/qmath/33.2.149.

[Dra]

Alexander Dranishnikov. On Levin’s generalization of the plus construction. arXiv: 1401.2554.

[Ker69]

Michel A. Kervaire. “Smooth homology spheres and their fundamental groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 144 (1969), pp. 67–72.

[Lev]

Michael Levin. On compacta not admitting a stable intersection in \(\R ^n\). arXiv: 1310.2091.

[Lev95]

Ran Levi. “On finite groups and homotopy theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 118.567 (1995), pp. xiv+100.

[Liv99]

Muriel Livernet. “On a plus-construction for algebras over an operad”. In: \(K\)-Theory 18.4 (1999), pp. 317–337. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007857428747.

[Pir86]

T. I. Pirashvili. “An analogue of the Quillen \(+\)-construction for Lie algebras”. In: Trudy Tbiliss. Mat. Inst. Razmadze Akad. Nauk Gruzin. SSR 78 (1986), pp. 44–78.

[Qui71]

Daniel Quillen. “Cohomology of groups”. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2. Paris: Gauthier-Villars, 1971, pp. 47–51.

[SW92]

Andrei A. Suslin and Mariusz Wodzicki. “Excision in algebraic \(K\)-theory”. In: Ann. of Math. (2) 136.1 (1992), pp. 51–122. url: https://doi.org/10.2307/2946546.

[Swa68]

R. G. Swan. Algebraic \(K\)-theory. Lecture Notes in Mathematics, No. 76. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1968, pp. iv+262.

[Vol71]

I. A. Volodin. “Algebraic \(K\)-theory as an extraordinary homology theory on the category of associative rings with a unit”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35 (1971), pp. 844–873.

[Wei13]

Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence, RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.

[Ye12]

Shengkui Ye. “A unified approach to the plus-construction, Bousfield localization, Moore spaces and zero-in-the-spectrum examples”. In: Israel J. Math. 192.2 (2012), pp. 699–717. arXiv: 1107.3392. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0051-y.

[Ye13]

Shengkui Ye. “Erratum to “A unified approach to the plus-construction, Bousfield localization, Moore spaces and zero-in-the-spectrum examples” [MR3009739]”. In: Israel J. Math. 196.1 (2013), pp. 507–508. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0170-5.