Quillen [Qui71] は, 環の高次の代数的\(K\)理論を定義するために, plus construction という 空間 (CW複体)
に対する構成を用いた。 ホモロジーを変えずに, 基本群の perfect normal subgroup を消す操作である。
大抵の文献では (このページでも), Quillen の plus construction と呼ばれているので, Quillen
が考えたものだと思っていたのだが, Dranishinikov の [Dra] によると, 最初に考えたのは Kervaire [Ker69]
らしい。
いくつか構成方法があり, 例えば Weibel の本 [Wei13] の Chapter IV §1 の Construction 1.9
には次の方法が挙げられている:
Berrick [Ber82] は, fibration が plus construction で保たれるための条件を考えるために, fiberwise
plus construction を導入した。
- fiberwise plus construction
他にもいくつかの拡張, あるいは変種が得られている。Pirashvili の [Pir86], Levi の [Lev95], Livernet の
[Liv99] などである。Ye の [Ye12; Ye13] は Bousfield localization も含むものになっている。
Levin [Lev] の Proposition 4.4 は, perfect でなくても, 基本群全体ならホモロジーを変えずに消すことができる,
と言っている。 Dranishinikov の [Dra] はその紹介であるが, それを書いた理由は, 「多くの algebraic topologist が
Levin の結果を信じないから」だという。 本当なのだろうか?
References
-
[Ber82]
-
A. J. Berrick. “The plus-construction and fibrations”. In: Quart.
J. Math. Oxford Ser. (2) 33.130 (1982), pp. 149–157. url:
https://doi.org/10.1093/qmath/33.2.149.
-
[Dra]
-
Alexander Dranishnikov. On Levin’s generalization of the plus
construction. arXiv: 1401.2554.
-
[Ker69]
-
Michel A. Kervaire. “Smooth homology spheres and their fundamental
groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 144 (1969), pp. 67–72.
-
[Lev]
-
Michael Levin. On compacta not admitting a stable intersection in \(\R ^n\).
arXiv: 1310.2091.
-
[Lev95]
-
Ran Levi. “On finite groups and homotopy theory”. In: Mem. Amer.
Math. Soc. 118.567 (1995), pp. xiv+100.
-
[Liv99]
-
Muriel Livernet. “On a plus-construction for
algebras over an operad”. In: \(K\)-Theory 18.4 (1999), pp. 317–337. url:
http://dx.doi.org/10.1023/A:1007857428747.
-
[Pir86]
-
T. I. Pirashvili. “An analogue of the Quillen \(+\)-construction for Lie
algebras”. In: Trudy Tbiliss. Mat. Inst. Razmadze Akad. Nauk Gruzin.
SSR 78 (1986), pp. 44–78.
-
[Qui71]
-
Daniel Quillen. “Cohomology of groups”. In: Actes du Congrès
International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2. Paris:
Gauthier-Villars, 1971, pp. 47–51.
-
[SW92]
-
Andrei A. Suslin and Mariusz Wodzicki. “Excision in algebraic
\(K\)-theory”. In: Ann. of Math. (2) 136.1 (1992), pp. 51–122. url:
https://doi.org/10.2307/2946546.
-
[Swa68]
-
R. G. Swan. Algebraic \(K\)-theory. Lecture Notes in Mathematics, No. 76.
Springer-Verlag, Berlin-New York, 1968, pp. iv+262.
-
[Vol71]
-
I. A. Volodin. “Algebraic \(K\)-theory as an extraordinary homology
theory on the category of associative rings with a unit”. In: Izv. Akad.
Nauk SSSR Ser. Mat. 35 (1971), pp. 844–873.
-
[Wei13]
-
Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in
Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence,
RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn:
978-0-8218-9132-2.
-
[Ye12]
-
Shengkui Ye. “A unified approach to the plus-construction, Bousfield
localization, Moore spaces and zero-in-the-spectrum examples”. In:
Israel J. Math. 192.2 (2012), pp. 699–717. arXiv: 1107.3392. url:
https://doi.org/10.1007/s11856-012-0051-y.
-
[Ye13]
-
Shengkui Ye.
“Erratum to “A unified approach to the plus-construction, Bousfield
localization, Moore spaces and zero-in-the-spectrum examples”
[MR3009739]”. In: Israel J. Math. 196.1 (2013), pp. 507–508. url:
https://doi.org/10.1007/s11856-012-0170-5.
|