Quillenのplus construction

Quillen [Qui71] は, 環の高次の代数的\(K\)理論を定義するために, plus construction という 空間 (CW複体) に対する構成を用いた。 ホモロジーを変えずに, 基本群perfect normal subgroup を消す操作である。

大抵の文献では (このページでも), Quillen の plus construction と呼ばれているので, Quillen が考えたものだと思っていたのだが, Dranishinikov の [Dra] によると, 最初に考えたのは Kervaire [Ker69] らしい。

いくつか構成方法があり, 例えば Weibel の本 [Wei13] の Chapter IV §1 の Construction 1.9 には次の方法が挙げられている:

Berrick [Ber82] は, fibration が plus construction で保たれるための条件を考えるために, fiberwise plus construction を導入した。

  • fiberwise plus construction

他にもいくつかの拡張, あるいは変種が得られている。Pirashvili の [Pir86], Levi の [Lev95], Livernet の [Liv99] などである。Ye の [Ye12; Ye13] は Bousfield localization も含むものになっている。

Levin [Lev] の Proposition 4.4 は, perfect でなくても, 基本群全体ならホモロジーを変えずに消すことができる, と言っている。 Dranishinikov の [Dra] はその紹介であるが, それを書いた理由は, 「多くの algebraic topologist が Levin の結果を信じないから」だという。 本当なのだろうか?



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Shengkui Ye. “Erratum to “A unified approach to the plus-construction, Bousfield localization, Moore spaces and zero-in-the-spectrum examples” [MR3009739]”. In: Israel J. Math. 196.1 (2013), pp. 507–508. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0170-5.