Orbifold のコホモロジー

Orbifold に対しては, その inertia orbifold の cohomology に新しい積を入れることできる。 それを発見したのは Chenと Ruan [CR04] であるが, その後様々な方向への拡張が発見されている。

Edidin と Jarvis と Kimura の [EJKa] の Introduction に Review of Previous Related Work という項があるので, それを読むと全体像がつかめる。

• orbifold cohomology [CR04]
• orbifold Bredon cohomology [PS]
• orbifold quantum cohomology
• orbifold Chow ring あるいは stringy Chow ring [AGV02; BCS05; AGV08; EJKb]
• orbifold Deligne cohomology
• orbifold Riemann-Roch [Kaw79]

Pagani の [Pag] によると, Chen-Ruan の orbifold cohomology は, Gromov-Witten theory を orbifold に拡張するために考えられたものらしい。 Graded Abelian group としては, inertia orbifold のコホモロジーに過ぎない。 ただ grading が変な風にいじってあるだけである。重要なのは, cup積の定義である。それについては, Hepworth の [Hepb] をみるとよい。Hepworth は, ある条件の下で Künneth の同型が成り立つことも示している。

代数多様体の場合の Chen-Ruan cohomology は, exact category の cohomology としての記述もある。Baranovsky の [Bar03] である。

Global quotient の場合, Chen-Ruan orbifold cohomology と割る前の空間の関数環の invariant ring の Hochschild cohomology の関係が, Ginzburg と Kaledin [GK04] により予想されている。その additive version を証明したのが, Dolgushev と Etingof の [DE] である。

Stably almost complex manifold を torus の作用で割ってできる orbifold の場合, 別の表し方がある。Goldin と Holm と Knutson は, inertial cohomology ring というものを [GHK] で導入し, その場合に Chen-Ruan cohomology と同型になることを示している。

• inertial cohomology ring

Chow ring で Chen-Ruan cohomology と同様のことを考えたのが, Abramovich と Graber と Vistoli [AGV02; AGV08] の orbifold Chow ring あるいは, stringy Chow ring である。

別の approach として“stringy” version がある。 Frobenius環に値を持つ functor らしい。

• orbifold stringy cohomology [FG; JKK05]

Fantechi と Götsche は [FG] で global quotient の場合に stringy cohomology を定義したのであるが, その motivation は, Hilbert scheme のコホモロジーと Chen-Ruan の orbifold cohomology が同型になるかどうかを確かめることにあった。Fantechi と Götsche の構成は, Jarvis と Kaufmann と Kimura により [JKK05] で一般化された。そのもう一つの motivation は, Kontsevich と Manin の cohomological field theory [KM94] の一般化である。 Hilbert scheme のコホモロジーと Chen-Ruan orbifold cohomology の関係については, Etingof と Oblomkov の [EO06] もある。

Stringy cohomology を inertia orbifold の cohomology として解釈しようという試みもある。Hinich の [Hin07] である。Monoidal category の Drinfeld double を用いて記述しようという点が面白い。

• ineria groupoid
• orbifold stringy cohomology と inertia orbifold の cohomology は同型

Lupercio と Uribe と Xicotencatl は, [LUX07] で virtual orbifold cohomology を定義した。正確には, global quotient orbifold の inertia orbifold のコホモロジーに intersection product を定義したのであるが, その定義は一般の orbifold にも拡張できる。 González と Lupercio と Segovia と Uribe と Xicoténcatl は, [Gon+07]で, almost complex orbifold の場合には cotangent orbifold の Chen-Ruan cohomology と同形になることが示されている。

• virtual orbifold cohomology

この virtual orbifold product の存在からも分かるように, inertia orbifold の cohomology には様々な積が定義される。このことについては, Edidin, Kimura, Jarvis の [EJKa] がある。

多様体のコホモロジーの性質 は色々あるが, その orbifold への拡張ももちろん考えられている。例えば, Morse理論の orbifold版を Hepworth [Hepa] が考えている。

• orbifold の Morse理論

Orbifold は, 古典的には Euclid空間を有限群の作用で割った空間を貼り合わせたものとして定義されていた。 その視点からは, 群の作用, そして 群の cohomology との関連が期待される。実際 Adem と Pan の論文 [AP06] では, 群の cohomology の結果を string theory に現われる \(6\)次元の example に応用している。

Orbifold cohomology を調べた例としては, 他に 対称積の orbifold cohomology [Uri05] がある。代数的に symmetric product に対応するものを調べた例として, Etingof と Oblomkov の [EO06] というものがある。

コホモロジーと言えば特性類。特に, 幾何学的な応用のためには, 不変量として良い特性類があるとよい。まず, 不変量として基本的なのは, Euler標数である。

• orbifold Euler characteristic

他の特性類として, orbifold Chern class や orbifold Chern character がある。 もちろん, そのためには \(K\)理論が必要である。

• orbifold の \(K\)理論

Elliptic genus の orbifold 版も定義されている。

• orbifold elliptic genus [AF07]

より高次の(コ)ホモロジー論 に対し orbifold genus を定義するという Ganter の試み [Gan06] もある。Libgober と Szczesny は, [LS] で有限群 \(G\) の作用を持つ代数多様体に対し, \(H^2(G;U(1))\) の元を discrete torsion とする orbifold elliptic genus を定義している。

References

[AF07]

Matthew Ando and Christopher P. French. “Discrete torsion for the supersingular orbifold sigma genus”. In: Elliptic cohomology. Vol. 342. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007, pp. 1–25. arXiv: math/0308068. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511721489.003.

[AGV02]

Dan Abramovich, Tom Graber, and Angelo Vistoli. “Algebraic orbifold quantum products”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 1–24.

[AGV08]

Dan Abramovich, Tom Graber, and Angelo Vistoli. “Gromov-Witten theory of Deligne-Mumford stacks”. In: Amer. J. Math. 130.5 (2008), pp. 1337–1398. arXiv: math/0603151. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.0.0017.

[AP06]

Alejandro Adem and Jianzhong Pan. “Toroidal orbifolds, Gerbes and group cohomology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 358.9 (2006), 3969–3983 (electronic). arXiv: math.AT/0406130. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-04017-7.

[Bar03]

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[BCS05]

Lev A. Borisov, Linda Chen, and Gregory G. Smith. “The orbifold Chow ring of toric Deligne-Mumford stacks”. In: J. Amer. Math. Soc. 18.1 (2005), 193–215 (electronic). arXiv: math/0309229. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-04-00471-0.

[CR04]

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[DE]

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[EJKa]

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[EJKb]

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[EO06]

Pavel Etingof and Alexei Oblomkov. “Quantization, orbifold cohomology, and Cherednik algebras”. In: Jack, Hall-Littlewood and Macdonald polynomials. Vol. 417. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 171–182. arXiv: math/0311005. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/417/07921.

[FG]

Barbara Fantechi and Lothar Goettsche. Orbifold cohomology for global quotients. arXiv: math/0104207.

[Gan06]

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[GHK]

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[GK04]

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[Gon+07]

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[Hepa]

Richard A. Hepworth. Morse Inequalities for Orbifold Cohomology. arXiv: 0712.2432.

[Hepb]

Richard A. Hepworth. The age grading and the Chen-Ruan cup product. arXiv: 0706.4326.

[Hin07]

Vladimir Hinich. “Drinfeld double for orbifolds”. In: Quantum groups. Vol. 433. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 251–265. arXiv: math/0511476.

[JKK05]

Tyler J. Jarvis, Ralph Kaufmann, and Takashi Kimura. “Pointed admissible \(G\)-covers and \(G\)-equivariant cohomological field theories”. In: Compos. Math. 141.4 (2005), pp. 926–978. arXiv: math/0302316. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X05001284.

[Kaw79]

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[KM94]

M. Kontsevich and Yu. Manin. “Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry”. In: Comm. Math. Phys. 164.3 (1994), pp. 525–562. arXiv: hep-th/9402147. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104270948.

[LS]

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[LUX07]

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe, and Miguel A. Xicoténcatl. “The loop orbifold of the symmetric product”. In: J. Pure Appl. Algebra 211.2 (2007), pp. 293–306. arXiv: math/0606573. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.01.002.

[Pag]

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[PS]

Dorette Pronk and Laura Scull. Translation Groupoids and Orbifold Bredon Cohomology. arXiv: 0705.3249.

[Uri05]

Bernardo Uribe. “Orbifold cohomology of the symmetric product”. In: Comm. Anal. Geom. 13.1 (2005), pp. 113–128. arXiv: math/0109125. url: http://projecteuclid.org/euclid.cag/1117649082.