Nerve of Small Category and Related Topics

Small category \(C\) に対し functorial に simplicial set \(N(C)\) を構成する方法がある。\(C\) の nerve という。 その 幾何学的実現は \(C\) の分類空間と呼ばれる。Nerve や分類空間は small category のホモトピー論の基本である。

• classifying space of small category
• homotopy theory of small categories

G.B. Segal の論文 [Seg68] で広く世に知られるようなったのだと思うが, Segal 自身は, その論文の中で Grothendieck の idea によるものだと言っている。実際, Cegarra と Heredia の [CH14] や Gagna の [Gag18] では, Grothendieck [Gro95] が参照されている。

Nerve そのものの性質としては, まず Lee による groupoid の nerve の特徴付け [Lee72] がある。より一般に small category の nerve の特徴付けは, 例えば Lurie の [Lur09] に Proposition 1.1.2.2 として述べられている。

• \(N(C)\) が Kan complex である必要十分条件は \(C\) が groupoid であること。
• small category の nerve の horn からの morphism の拡張可能性による特徴付け (Lurie の [Lur09] の Proposition 1.1.2.2)。

この small category の nerve の特徴付けは, quasicategory の定義を理解するのに重要である。

Nerve functor \(N\) は left adjoint を持つことが知られている。 \(N\) の left adjoint は, Thomason [Tho79] の 1.3 Remarks では categorization と呼ばれているが, Fritsch と Latch の [FL81] では, categorical realization と呼ばれている。 定義は, Thomason の [Tho80] にある。そこでは, Gabriel と Zisman の本 [GZ67] が参照されているが。

• categorization or categorical realization

ただ, Fritsch と Latch により [FL79; FL81] で指摘されているように, categorization あるいは categorical realization functor \(c\) は nerve functor の inverse になっていない。

• \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Delta ^n/\partial \Delta ^n)) \cong \Delta ^0\)
• \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Sd ((\Delta ^n/\partial \Delta ^n))) \cong \Delta ^1\)

そのために, Lee [Lee72] や Latch [Lat77] などの \(c\) の代わりとなる functor を構成する試みがある。Latch と Thomason と Wilson は, [LTW79] で Latch の構成した functor \(\Gamma \) の right adjoint と nerve functor \(N\) の比較をし, 各 object で weak equivalence になることを示している。

Nerve や分類空間の一般化については, 次にまとめた。

• nerve や分類空間の一般化

References

[CH14]

Antonio M. Cegarra and Benjamín A. Heredia. “Comparing geometric realizations of tricategories”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.4 (2014), pp. 1997–2064. arXiv: 1203.3664. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.1997.

[FL79]

Rudolf Fritsch and Dana May Latch. “Homotopy inverses for nerve”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1.1 (1979), pp. 258–262. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1979-14579-8.

[FL81]

Rudolf Fritsch and Dana May Latch. “Homotopy inverses for nerve”. In: Math. Z. 177.2 (1981), pp. 147–179. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01214196.

[Gag18]

Andrea Gagna. “Strict \(n\)-categories and augmented directed complexes model homotopy types”. In: Adv. Math. 331 (2018), pp. 542–564. arXiv: 1612.04450. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.04.010.

[Gro95]

Alexander Grothendieck. “Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. III. Préschemas quotients”. In: Séminaire Bourbaki, Vol. 6. Paris: Soc. Math. France, 1995, Exp. No. 212, 99–118.

[GZ67]

Peter Gabriel and Michel Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967, pp. x+168. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-85844-4.

[Lat77]

Dana May Latch. “The uniqueness of homology for the category of small categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 9.2 (1976/77), pp. 221–237. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(77)90068-8.

[Lee72]

Ming Jung Lee. “Homotopy for functors”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 36 (1972), 571–577, erratum, ibid. 42 (1973), 648–650.

[LTW79]

Dana May Latch, Robert W. Thomason, and W. Stephen Wilson. “Simplicial sets from categories”. In: Math. Z. 164.3 (1979), pp. 195–214. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01182267.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Seg68]

Graeme Segal. “Classifying spaces and spectral sequences”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 34 (1968), pp. 105–112. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__105_0.

[Tho79]

R. W. Thomason. “Homotopy colimits in the category of small categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 85.1 (1979), pp. 91–109. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100055535.

[Tho80]

R. W. Thomason. “Cat as a closed model category”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 21.3 (1980), pp. 305–324.