“Tensor product”を持つ圏についての基本

2つの object から新しい object を作る操作をもつ圏は多い。単に2変数の関手 \[ \otimes : \bm {C}\times \bm {C} \longrightarrow \bm {C} \] だけ持つものを category with multiplication と言ったりする。Brin の [Bri05] で考えられている。更に弱めて, 2変数関手にさえなっていないものも, Power と Robinson の [PR97] で binoidal category として定義されている。これが “tensor product” を持つ圏でのもっとも基本的な構造と言えるだろう。

  • binoidal category

普通は, この “tensor product” に関する単位元に対応する object があり, “tensor product” と “unit object” がある種の coherence condition をみたす場合を考える。2つの object を tensor する操作が2変数関手になっている場合, そのような構造を monoidal structure という。Binoidal category が monoidal category と同様の cohenrece condition をみたす場合, premonoidal category と呼ばれる。 Power と Robinson [PR97] により, 計算機科学のために導入された。

  • monoidal category
  • premonoidal category

Premonoidal category は, Joyce [Joy] に現れる。 他にも, [Wag+] では premonoidal category の具体例が, 有限群やそのdoubleの表現から構成されている。

Monoidal structure を定義するためには, “coherence condition” を正確に述べないといけないが, Calaque と Etingof [CE08] にあるように, unit object \(1\) と natural isomorphism \[ \begin {split} a & : x \otimes (y\otimes z) \longrightarrow x\otimes (y\otimes z) \\ r & : x\otimes 1 \longrightarrow x \\ \ell & : 1\otimes x \longrightarrow x \end {split} \] を持ち, この3種類の natural isomorphism の合成でどんなに括弧を付け替え \(1\) を入れたり取ったりしても, 最終的にできた object が同じならば, 元の object との間の isomorphism は同じになる, というものがある。

この条件は Mac Lane の定理により, associator \(a\) に関する五角形の図式と, \(r\) と \(\ell \) に関する三角形の図式の可換性と同値になるので, それらを定義にする場合も多い。 これは, \(a\) と \(r\) と \(\ell \) が全て identity になっている monoidal category に取り替えることができることと密接に関係している。 Kassel の [Kas95] の §XI.5 に詳しい証明がある。 他の証明としては, Hadzihasanovic の [Had] や Malkiewich と Ponto の [MP] などがある。

  • Mac Lane の coherence theorem
  • strict monoidal category
  • 任意の monoidal category は strict なものに monoidal category と して equivalent

このようなことを考えないといけないのは, monoidal category が 高次の圏の構造を持っているからである。 つまり, monoidal category は object が1つの bicategory である。

この coherence の問題は, 高次の圏を考えるときに常に気にしなければならないことである。

Monoidal category の間の functor としては, strict に monoidal structure を保つもの以外にも, up to natural transformation で monoidal structure を保つものを考える必要がある。これも monoidal category が object 1つの bicategory であるからである。

  • lax monoidal functor

他にも monoidal category の間の functor の separable Frobenius structure というものを考えている人 [DP; Szl03; Szl05; MS10] もいる。

\(\bm {C}\) 上の monoidal structure を endofunctor \(T:\bm {C}\to \bm {C}\) を用いて変形し新しい monoidal structure を作ることが考えられている。 そのために Booker と Street が [BS13] で導入したのが warping という概念である。

  • warping

Lack と Street [LS14] は warping は対応する object 一つの bicategory 上の pseudomonad とみなせる, と言っている。

Monoidal category の条件を simplicial set を定義するときの category \(\Delta \) を用いて書き直せることに気づいたのは, Lurie だろうか。 [Lura] に, \(\bm {C}\) から新しい category \(\bm {C}^{\otimes }\) を作り, “forgetful functor” \[ \bm {C}^{\otimes } \longrightarrow \Delta ^{\op } \] に関する条件として書き直している。 \((\infty ,1)\)-category での monoidal structure を考えるときにはその方が都合がよいからである。

  • monoidal \((\infty ,1)\)-category

\((\infty ,1)\)-category の monoidal structure については, John Francis の thesis [Fra08] にある, operad を用いたものもある。Lurie の “Higher Algebra” [Lurb]では, symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category を \(\bm {C}^{\otimes }\) を用いて定義してから, \(\infty \)-operad を定義し, それにより monoidal \((\infty ,1)\)-category を定義している。

Monoidal categoryのobjectに対してはmonoid objectという概念が定義できる。 その dual である comonoid object も使われる。

Associativity を一種の commutativity と見ることもできる。Dosen と Petric の [DP06] にあるように, ある代数系での \[ (a\cdot c)\cdot b = a\cdot (c\cdot b) \] という等式は, \[ (a\cdot -)\circ (-\cdot b) = (-\cdot b)\circ (a\cdot -) \] という二つの写像の可換性とみなすことができる。 圏の場合にも同様のことが考えられるのである。

Monoidal category のもう一つの見方として, monoid の categorification というものがある。 そう考えると, unit の一意性などを考えるのが自然に思えてくる。Monoidal category の unit については Kock が [Koc08] で考察している。 他にも monoid や群についての概念を monoidal category に一般化して考えるという試みも色々ある。 例えば, Drinfeld double など。

  • monoidal category の Drinfeld double [JS91]

これは, Hinich により orbifold stringy cohomology を記述する のに用いられている。

References

[Bri05]

Matthew G. Brin. “Coherence of associativity in categories with multiplication”. In: J. Pure Appl. Algebra 198.1-3 (2005), pp. 57–65. arXiv: math/0501086. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.10.008.

[BS13]

Thomas Booker and Ross Street. “Tannaka duality and convolution for duoidal categories”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), No. 6, 166–205. arXiv: 1111.5659.

[CE08]

Damien Calaque and Pavel Etingof. “Lectures on tensor categories”. In: Quantum groups. Vol. 12. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 1–38. arXiv: math/0401246. url: http://dx.doi.org/10.4171/047-1/1.

[DP]

Brian Day and Craig Pastro. Note on Frobenius monoidal functors. arXiv: 0801.4107.

[DP06]

Kosta Došen and Zoran Petrić. “Associativity as commutativity”. In: J. Symbolic Logic 71.1 (2006), pp. 217–226. arXiv: math/0506600. url: http://dx.doi.org/10.2178/jsl/1140641170.

[Fra08]

John Francis. Derived algebraic geometry over \(E_n\)-rings. Thesis (Ph.D.)–Massachusetts Institute of Technology. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2008, (no paging).

[Had]

Amar Hadzihasanovic. Weak units, universal cells, and coherence via universality for bicategories. arXiv: 1803.06086.

[Joy]

W. P. Joyce. Natural Associativity without the Pentagon condition. arXiv: math/0109088.

[JS91]

André Joyal and Ross Street. “Tortile Yang-Baxter operators in tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 71.1 (1991), pp. 43–51. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(91)90039-5.

[Kas95]

Christian Kassel. Quantum groups. Vol. 155. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1995, pp. xii+531. isbn: 0-387-94370-6.

[Koc08]

Joachim Kock. “Elementary remarks on units in monoidal categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 144.1 (2008), pp. 53–76. arXiv: math/0507349. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004107000679.

[LS14]

Stephen Lack and Ross Street. “On monads and warpings”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 55.4 (2014), pp. 244–266. arXiv: 1408. 4953.

[Lura]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra. arXiv: math/0702299.

[Lurb]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[MP]

Cary Malkiewich and Kate Ponto. Coherence for bicategories, lax functors, and shadows. arXiv: 2109.01249.

[MS10]

Micah McCurdy and Ross Street. “What separable Frobenius monoidal functors preserve?” In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 51.1 (2010), pp. 29–50. arXiv: 0904.3449.

[PR97]

John Power and Edmund Robinson. “Premonoidal categories and notions of computation”. In: Math. Structures Comput. Sci. 7.5 (1997). Logic, domains, and programming languages (Darmstadt, 1995), pp. 453–468. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0960129597002375.

[Szl03]

Kornél Szlachányi. “The monoidal Eilenberg-Moore construction and bialgebroids”. In: J. Pure Appl. Algebra 182.2-3 (2003), pp. 287–315. arXiv: math / 0208198. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(03)00018-5.

[Szl05]

Kornel Szlachanyi. “Adjointable monoidal functors and quantum groupoids”. In: Hopf algebras in noncommutative geometry and physics. Vol. 239. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Dekker, New York, 2005, pp. 291–307. arXiv: math/0301253.

[Wag+]

L. D. Wagner, J. Links, P. S. Isaac, W. P. Joyce, and K. A. Dancer. Premonoidal categories associated with representations of finite groups and their quantum doubles. arXiv: math/0606704.